これは可能でしょうか？

質問

u(x), v(x)について、

u{(d^4)*v/(dx^4)} - v{(d^4)*u/(dx*4)} = (d/dx)*(?)

としたいのですが、(?)の部分にくる式を導くのに試行錯誤しています。どなたかアドバイスいただけませんでしょうか？　ちなみにd/dxは微分です。ですから(d^4)*v/(dx^4)} はｖをxについて4度微分していることになります。日本語が下手くそですが、よろしくお願いします。

回答No.3

take008

∫(uv''-u''v)dx
=∫uv''dx-∫u''vdx
=uv'-∫u'v'-u'v+∫u'v'dx
=uv'-u'v+C (1)

∫(uv''''-u''''v)dx
=uv'''-∫u'v'''-u'''v+∫u'''v'dx
=uv'''-u'''v-∫(u'v'''-u'''v')dx
　(1) を使って
=uv'''-u'''v-u'v''+u''v'+C

> 無理でしょう。
> それにしても，なぜいきなり4回微分ですか？

撤回します。
偶数回微分なら，同様にできますね。

回答No.2

eatern27

∫(uv''''-vu'''')dx=∫uv''''dx-∫vu''''dx
を計算すればいいわけですが、

∫uv''''dxを部分積分を使って、uの方を微分,vの方を積分しまくると、最終的に∫vu''''dxという項が出てくるはずです。
ちゃんと計算してませんが、この項が、ちょうど-∫vu''''dxの項と打ち消しあいそうな気がします。

回答No.1

take008

要するに，不定積分
∫(uv''''-u''''v)dx
を一般的に求められるか？
ということですね。
無理でしょう。

それにしても，なぜいきなり4回微分ですか？