有効数字について

質問

有効数字をどこまで数えるかということで、大変混乱しています。よろしくお願いします。
例えば、OH- の値が5.25×10＾-9Mの時のPHを求めます。
POH=-log(5.25×10＾-9)
=8.279(四捨五入します）
=8.280
14-8.280＝5.720
PH=5.720
　となるのですが、どうして問題が5.25と３桁なのに、5.720と４桁まで回答しなければならないのでしょうか？

回答No.2

c80s3xxx

まず有効数字の扱いから．
5.25×10^-9 ということは，最低 5.24×10^-9，最高 5.26×10^-9 と一応解釈できます．それぞれに対して pOH を求めると，8.2806... と 8.2790... です．ということは 8.281 から 8.279 の間と見るべきで，この時点では，8.280 と(この数字については)4桁分の精度を主張しなくてはいけません．log のような非線形な関数が入った場合には，このように誤差の範囲をきちんと考えなくてはいけません．桁数だけをただ見てはいけないのです．

次に質問にある数値処理について．
> =8.279(四捨五入します）
> =8.280
8.279を四捨五入したら 8.28 です． 8.280 ではありません．
実際には log(5.25×10^-9) は 8.279840... となりますから，上のことも考えに入れたうえで 8.280 と丸めるのは妥当ですが．

じつは，本当の問題はこの次にあります．
> 14-8.280＝5.720
これはつまり水のイオン積が 1×10^-14 というのを使っているわけですが，ここに大きな問題があります．上記の計算が成立するためには，pKw が 14 ではなく 14.000 であることが必要です．しかし，手許の化学便覧を見ると，25℃での水の pKw としては 14.00 までしか載っていません．次の桁は 0 であるかどうかはわからないのです．というか，そもそも上の計算は前提条件として14は無限に桁があるとしていますが，14 自体が実験値なわけでそんなことはありえません．一般的には実験値が14までしか示されていなければ 13～15 と解釈するのが有効数字の扱いですから，この時点で pOH 側を4桁取る意味はなくなってしまいます．実際には Kw として 1.0×10^-14 という解釈であれば，0.9～1.1×10^-14 に対応して，pKw としては 14.045...～13.958... となるので，pKw としての有効数字は 14.0 まで，1.00×10^-14 という解釈で 0.99～1.01×10^-14 なら14.00436...～13.9956...で，ここまできても小数点以下は2桁までです．いずれにしても，Kw の有効数字をきちんと与えていないのですから，14をそのまま14.0000... とする根拠はなく，計算が成り立っていません．

結論．14 の問題を抜きにすれば，4桁(というか，小数点以下3桁) まで求める必要がある．しかし，14 の妥当性には議論の余地があり，問題不備でもあるし，14.000 までを主張する根拠も見つからなかったので，この計算にも妥当性がない．

お礼

詳細な回答をありがとうございます。14に関しては問題に含まれているわけではなく、POHからPHを算出するために、私が勝手に14とおいただけです。
　本当に化学は難しいです。日々、苦闘しています。一度私立大学を卒業しているのですが（専攻は文学と幼児教育）、農学部で勉強したいと思うようになり、三十路を過ぎて微積分や化学の勉強を始めました。なかなか頭がついていかなくて、苦戦しています。
　ありがとうございました。

回答No.1

Jodie0625

実験結果、この場合はOH-の値が5.25×10^-9mは、有効数字３桁ですね。
私の考えでは、ここから計算をして結果として有効字４桁を求めることは無意味だとおもいます。

補足

ありがとうございます。そうですよね。友人何人かにたずねても、有効数字３桁だというのですが、学校の小テストで、４桁まで書いていなかったので、減点になってしまったんです。どうしてか解りません。