立方根

質問

√キーのある電卓で、例えば ５,×,５,＝,√,√,とやって、以下、“×,５,＝,√,√”と何回も繰り返すと、５の3乗根（立方根）が数値計算できるのは なぜでしょうか。

回答No.3

adinat · ベストアンサー

a_1:={5,*,5,=,√,√}
a_{n+1}:={a_n,*,5,=,√,√} for n≧1
とします。a_n→5^{1/3}を証明したいわけです。
b_n:=log_5 a_n
とおいてやりましょう。そうすると簡単な考察から、
b_1=1/2
b_{n+1}=(b_n+1)/4
となることがわかります。
あとはこの漸化式を解けばいいです。
極限の存在を仮定すれば、b_n,b_{n+1}→βとして、
β=(β+1)/4⇔β=1/3
だから、結局、b_n→1/3です。
まじめにやりたい場合は、きちんと漸化式を解いてください。
いずれにせよ、a_n→5^{1/3}が示されたことになります。

だいたい二回ぐらいこの操作をするたびに、一桁ぐらい
精度が上がっていくようです。

指数型の漸化式はlogを取ると、高校生で習う線形漸化式に
帰着されることが多いですので、
このような方法を知っていると割りに楽に計算ができます。

なお、b_nの収束だけを示すのであれば、一般項を求めずとも、漸化式を、
b_{n+1}-1/3=1/4(b_n-1/3)
と変形できますので、
|b_n-1/3|≦(1/4)^{n-1}|b_1-1/3|
が得られますから、
b_nは初期値によらずに1/3に収束することがわかります。

お礼

分かりやすく説明してくれ有難うございました。

回答No.2

quantum2000

Ａ1 ＝ √(√５) ，
Ａn+1 ＝ √(√(５*Ａn))　　n ＝ 1,2,3,・・・
とすると，

Ａ1 ＝ √(√５)
Ａ2 ＝ √(√(５*Ａ1))
Ａ3 ＝ √(√(５*Ａ2))
　　・
　　・
　　・
Ａn ＝ √(√(５*(Ａn-1)))
となるが，ここで

(Ａ2)^4 ＝ ５*(Ａ1)
(Ａ3)^4 ＝ ５*(Ａ2)
(Ａ4)^4 ＝ ５*(Ａ3)
　　　　・
　　　　・
　　　　・
(Ａn)^4 ＝ ５*(Ａn-1)　　(1)
となっている．

そこで，もしこの数列の極限値 lim(n→∽)Ａn が存在するとして，
それをＡ とおいて，(1)の両辺の極限値を考えると，
Ａ^4 ＝ ５*Ａ
よって，
Ａ^3 ＝ ５
つまり，この数列（操作）の極限値Ａ は，５の３乗根となっている！

・・・もしもこの数列が収束するとしたらですが・・・

お礼

分かりやすく説明してくれ有難うございました

回答No.1

Jodie0625

ホントですか？

５×５＝√√
この時点で求まるのは、５の平方根ですね。

×５＝
ここで、５＊√５、つまり、５の(3/2)乗

√
で、５の(3/4)乗

さらに√で、
５の(3/8)乗
以下、どんどん(1/2)乗を求めることになりそうです。