三角不等式を用いた解析2

2005/10/24 23:38

このQ&Aのポイント

解析2について再度質問させていただきます。前回の質問で納得いかない点が浮上しました。
質問内容は三角不等式を用いた解析に関するものです。
具体的には、(2)⇒(1)の関係についての解析方法と、その結果から導かれる式について疑問があります。

noname#38655

数学・算数
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peaceanimals
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2005/10/25 13:27 回答No.1

ΔはΔ1とΔ2を合わせた分割ですから, |Δ|≦|Δ1|,|Δ|≦|Δ2| が言えますよね。つまり, |S-SΔ|<ε,|s-sΔ|<ε となります。大丈夫かな・・・？「前提」の,『任意のε>0に対して,|S-S(Δ1)|<εを満たす分割Δ1が存在する』というのはいいですよね？Δ1をさらに分割してそれをΔとするなら, 上方和SΔはS(Δ1)以下になりますよね?上方和は細かく分割した方が小さくなるわけですから。だから, SΔ≦S(Δ1) ⇔ SΔ-S≦S(Δ1)-S 　　　　　　⇔ |S-SΔ|≦|S-S(Δ1)| つまり,|S-SΔ|<εが言えるわけです。下方和に関しては,sΔはs(Δ2)以上になるので sΔ≧s(Δ2) ⇔ sΔ-s≧s(Δ2)-s 　　　　　　⇔ |s-sΔ|≦|s-s(Δ2)| 　　　　　　⇔ |sΔ-s|≦|s(Δ2)-s| つまり,|sΔ-s|<εが言えます。 |SΔ-sΔ|<εについては問いの仮定より明らかです。以上より |S-SΔ|+|SΔ-sΔ|+|sΔ-s|<3ε となります。 |S-s|<3εからS=sとなるのは収束の定義そのままだと思いますが。。。任意のε>0に対して|S-s|<3εとなる分割Δが存在するcつまりS→sです。 3εが気になるのでしたら,最初にεをとるときに|S-S(Δ1)|,|s-s(Δ2)|,|SΔ-sΔ| をε/3より小さくなるようにすればスッキリした形になるはずです。