x^x^x^x^x^x^・・・・・^x の一般的な表し方

質問

タイトル通りになってしまいますが、

x^x^x^x^x^x^・・・・・・^x　（ｘはｎ個ある）

を一般的に表すことができる式というのはあるものなのでしょうか？

grapesで
y=x
y=x^x
y=x^x^x
y=x^x^x^x
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のグラフを描いてみましたところ、どうやらｎが偶数か奇数かによって２種類のグラフに近づいているように見えたのです。どなたか一般的な記述の仕方をご存知の方、宜しくお願いしますm(_ _)m

回答No.2

adinat · ベストアンサー

x^x^xはx^(x^x)と表すべきです。同様にx^x^x^xではなく、x^(x^(x^x))です。
これは(x^x)^xとx^(x^x)が等しくないから区別する必要があるわけです。
たとえば(3^3)^3=729なのに対し、3^(3^3)=19683です。
一般に後者の方が圧倒的に大きくなります。

さて、話をx^(x^(x^(…)))に戻しましょう。
これは定義域を[0,1]に限れば、確かにおっしゃるとおり偶数と奇数で
関数の形状が分かれます。これはx^x→1(x→0)が関係しています。
x^(x^x)は不定形の極限ではなく、単に0^1=0に収束します。
偶数個のときは不定形の極限が現れるわけです。
数学的帰納法とたとえばlogを取って極限計算をされてみたらよいでしょう。

さて問題になっている、x^(x^x)などの表記ですが、
これにはクヌースのタワー表記（1976）というものが知られています。
たとえば
x^(x^x)=x↑↑3
x^(x^(x^(x^(x^x))))=x↑↑6
などと表示します。参考URL（wiki）などをごらんください。
wikiによるとx^^3や、x^^6などとも表示するようです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%81%AE%E7%9F%A2%E5%8D%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98

お礼

返事がたいへん遅くなってしまい、申し訳ございません。
そうですね、表記の仕方に不備がありました。これからは（　）を使って誤解の無いように記述していきます。ご指摘ありがとうございます。
クヌースのタワー表記と言うのがあるんですね((≡゜♀゜≡))
式の名前を教えていただいたので、これからの勉強の方針が見えてきそうです。参考URLまで示していただき、たいへん助かりました。ご回答ありがとうございます。

回答No.1

don-doko-don

xのn乗で良いのではないでしょうか？
書き方は、xの右肩にnです。

質問者さんのおっしゃる通り、
nが奇数のとき、点対称のグラフ
nが偶数のとき、線対称のグラフになります。

お礼

誤解を抱かせてしまい、すみません。

x^x^x^x

の表記は、正確には

x^(x^(x^(x)))

です。
ご回答ありがとうございました。