四面体において「四面不等式」というものの逆は？

質問

三角形において、
「一つの辺の長さは他の２つの辺の長さの和よりも小さい」
という三角不等式が成り立つことが知られています。
また、そのような３つの数が与えられたとき、実際に作図することもすぐにできます。

同じことを、空間の四面体において考えてみようと思います。
「一つの面の面積は他の３つの面の面積の和よりも小さい」
といういわば「四面不等式」が成り立つことはすぐに分かります。
なぜなら、一つの面へ他の面を正射影したものを考えればよい。

では、「四面不等式」を満たすような４つの数が任意に与えられたとき、それを面積にもつ四面体は必ず存在するのでしょうか？

もし存在するとしても一意的ではないと思いますが、一つの例を構成する具体的方法はあるのでしょうか？

回答No.1

SortaNerd · ベストアンサー

ちょっと考えてみたのですが、まず、
4数をa,b,c,dとし、aに相当する面の3辺の長さの比をb:c:dにできれば、その面の内心上にもうひとつの頂点があるとき、残り3面の面積比は常にb:c:dになるので、適に高さを調節すれば4面の面積をa:b:c:dにすることができます。
問題はb,c,dが三角形を作れないときですね。
そうならないように最初の1面の選び方を工夫すれば何とかなりそうな気もしますが。

お礼

おっしゃる方法でできると思います。
3辺の長さの比をb:c:dにすることもできると思います。
まことにありがとうございました。