波動関数について

質問

一次元の井戸型ポテンシャルについての質問なのですが、エネルギー項が高くなるにつれて、波の数が多くなるのはなぜでしょうか。専門分野ではないため、あまり難しいことはわかりません。どなたかわかる方は教えてください。

回答No.3

entree

簡潔に (古典力学的に) 書きますと、

p = h / λ = hk / 2π

つまり、波数が増えれば運動量が増大することになります。

E = p^2 / 2m + V

ですから、運動量が増加すると、エネルギーも大きくなります。

回答No.2

shkwta

「波動関数をxで2回微分して符号を変える操作（演算子）が運動エネルギーに対応している」というのが、
エネルギーが大きい ⇔ 波数が大きい
となる理由です。

(1)まず、xで２回微分したら自分の(-1)倍になるxの関数を探します。
　sin x とか cos x がそうです。
xで2回微分したら、それぞれ
　-sin x, -cos xになります。

(2)上の関数で、xの代わりにkxとして、２回微分します。
　　sin kx, cos kx
これらをxで2回微分すると、それぞれ
　　-k^2 sin kx, -k^2 cos kx
このように、xで2回微分すると、-k^2 倍になります。

(3) - (d^2/dx^2)ψ(x) = k^2 ψ(x)
という微分方程式を考えます。この微分方程式は、「xで2回微分したら　-k^2 倍になる関数を探せ」と言っているわけです。この微分方程式の解は、(2)に書いた関数を、適当に定数倍して加えたものになります。
(例)　ψ(x) = A sin kx + B cos kx (A, Bは任意定数）

ψ(x)のグラフを描けばすぐわかりますが、kは長さ2πの中の波の数です。

(4)井戸の中ではエネルギーは運動エネルギーだけです。この場合、時間に依存しないシュレディンガー方程式は
-((ち^2/(2 m))(d^2/dx^2)ψ(x)=Eψ(x)
となります。(ち = h/(2π), hはプランク定数, mは粒子の質量, Eはエネルギー,ψ(x)は波動関数の時間に依存しない部分)

(5)上の(3)(4)を照らし合わせると、
ψ(x) = A sin kx + B cos kx
で、k^2 = 2 m E/(ち^2)
とすればよいことがわかります。

※あとは、井戸の大きさに合わせて、（たとえば井戸の幅がaなら x = a/2とx = -a/2 でψ(x) =0になるように）、また、波動関数が規格化されるように、k,A,Bを決めてやればいいのです。

上の式、
k^2 = 2 m E/(ち^2)
をみれば、
エネルギーEが大きい ⇔ kが大きい ⇔ 波数が大きい
ということがわかります。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

エネルギーが大きい ⇔ 速度が速い ⇔ ド・ブロイ波長が短い ⇔ 波数が大きい

・・・というイメージではダメですか？