関数が対応しないような図形はグラフとは言わないのですか？

質問

直交座標の上にいろいろな図形を描くことができますが、そのうちのいくつかが関数と対応していても他の大部分のものには対応する関数が無いように思います。対応する関数があるものとないものとの間にはどのような相違点があるのでしょうか。

回答No.5

mech32 · ベストアンサー

>他の大部分のものには対応する関数が無いように思います

どんな図形でも、強引に(?)関数に対応させることはできると思います。色々な方法があると思いますが、例えば数値計算などで、変な曲線を関数近似する必要がある場合は直交関数系を使ったりします。「近似」というのは、無限級数和で表された関数を、計算のために有限の項で打ち切るためで、理論的には完全に一致させることができます。もちろん、大抵は、とてもややこしい形の式になります。

お礼

どうもありがとうございます。勉強させていただきます。

回答No.4

rabbit_cat

少なくとも、
「鉛筆で書ける閉曲線の濃度」≦「連続関数の濃度」
は明らかです。関数を、その閉曲線によって定義すればいいだけです。

で、
「鉛筆で書ける閉曲線の濃度」＜「連続関数の濃度」
が成り立つのかどうかが問題です。
「鉛筆で書ける閉曲線」の定義がわかりませんが、少なくともこれの濃度が実数濃度以上であることはまちがいないと思います。

ここから先は、私の知識不足なんで、専門家に登場していただかないとわかりません。

そもそも「連続関数の濃度」＝「実数濃度」なんでしたっけ？
それとも、「連続関数の濃度」＝「関数濃度」？
一般連続体仮説との関係は？

直感的に考えると、
いたるところ微分不可能な関数を使えば有限面積を囲う長さ無限大の閉曲線が作れるわけですが、
少なくとも長さ無限大の曲線を「鉛筆で書く」ことは不可能なので、
自然なやり方では、この２つに１対１対応をつけることはできないと思われます。
だからといって、
「鉛筆で書ける閉曲線の濃度」＜「連続関数の濃度」
とは限りませんが。

回答No.3

proto

回答ではなく感想みたいになりますが
質問する側としてどんな図形を前提として話をしていますか？

例えば三次元の直行座標系を考えたときに
ある条件を満たす実数の組(x,y,z)の集合はある図形になりえるでしょう
(それが線なのか面なのか立体なのかはわかりませんが)
しかしそのような実数の組の中で実際にグラフが描けるものは少ないように思います
例えばディリクレ関数d(x)を含む
　　(x,y)=(x,d(x))
例えば全てのxについて微分不可能な関数を用いて
　　f(x)=Σ[n=1～∞]{exp(-n)*cos(exp(n)*x)}
　　(x,y)=(x,f(x))
などは集合としての(x,y)は確定しますが
グラフを視覚的に描くことができません
(体積確定集合ではない集合って云うのかな？)

逆に図形として視覚的に表せるものは
不連続点が高々有限個な曲線・曲面であったり
体積が確定する平面・立体であったりするはずなので
ほとんど対応する関数が存在すると思います
陽関数で表されるものは少ないでしょうが
陰関数やパラメトリックな表示を用いればたいてい関数との対応として表されると思います

そのような関数を与える具体的な方法があるかどうかは別ですが

※確証はありません直感です

お礼

ご丁寧に推測していただき感謝いたします。私としては大変ためになるお話と思っております。補足のほうへ私のつたないイメージを述べさせていただきます。

補足

ほとんど私の質問に答えていただいていると思っておりますが、蛇足を書かせていただきます。今平面の紙の上に鉛筆でいろいろな閉曲線を描いたとします。それぞれの閉曲線を、それをあらわす関数があるものとないものとに分類できたとすれば、一見同じような線の運び方で描いた、同じ範疇に入る閉曲線でも実は違う分類に属するというようなことになるのかなと思ったわけです。閉曲線の集合のほうが関数の集合よりも要素の数が多い(濃度が高い)のかなと思ったこともあります。

回答No.2

sunasearch

グラフとは、

数量の時間変化や大小関係、割合などを、視覚的に表現した図のこと。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95

です。

関数を表す時には、「関数の」グラフと呼びます。

直交座標の上でひとふでがきのような輪郭線があり、
それがなんらかの数量的関係を表していれば、グラフです。

お礼

ご教示ありがとうございます。対応する関数が見つからなくてもグラフとしては同じものということでしょうか。

回答No.1

onara931

数学的な計算結果を現したモノは関数に対応するグラフですし、統計数字や自然の数値（気温や湿度）を現したモノは関数と無縁、というコトでは見当はずれな回答でしょうか？(^^;

お礼

ご回答ありがとうございました。質問の表題が適切でありませんでした。グラフと書いたのは直交座標の上でひとふでがきのような輪郭線だけが問題になるようなものというつもりでした。どうもすみませんでした。