1/9x9と9/9は同じ答になるのでしょうか

質問

実は小学生の頃から答のでない問題があります。どなたか解りやすく証明して下さい。

1/9=0.111111,,,,ですが、これを９回たすと
0.9999999.....になってしまいます。
一方
1/9x9=1になります。
0.999999.....は 1 にはならないと思うのですが、、。

回答No.12

yamabuki · ベストアンサー

質問者さんの疑問は、以下の常識に基いていると思います。

(a) ある実数を十進小数で表現する方法は必ず一つだけ存在する。言い換えれば、十進小数の表現が違えば異なる実数である。

あるいは、本質的に同じですが、以下のように書くこともできます。

(b) 二つの小数について、小数点以下第１桁の数値を比べ、第２桁の数値を比べ…というように比較していき、最後まで同じであれば両者は等しく、違うものがあれば両者は異なる。

しかし、(a), (b) は、有限小数についてだけ考える場合に成り立つものです。無限小数も含めて考えると成り立たない場合があるのです。

我々の感覚は有限なものしか感じ取れないので、無限について考えると色々と常識に合わないことが出てきます。無限とはそういう不思議なものであると割り切り、感覚的には変でも論理的な考察に基いているならば、正しいと判断することが必要です。

最後に、無限が常識に合わない例をもう一つ挙げておきます。

「自然数と正の偶数は、個数が等しい」

回答No.15

teas

またまたちょっとずれた観点から言いますと、『円』と同じですね。円とは存在しないものです。円を描いている線とは結局のところ点の集まりに過ぎません。数値上の計算も結局のところ『人間』が理解できるように数値として表しているだけです。

> 1/9x9=1になります。
どの様計算されたかはわかりませんが、これの結果も0.999999....になると思いますが？
コンピュータなどのひとつずつしか演算計算のできないものからすれば0.999...になります。（演算といえば決められた桁数までしか計算しませんが）
それは1/9を計算してから*9をしているからです。
上の式とまったく同じ計算過程になります。
人間なら分数の1/9*9=9/9で1になると計算しますよね。先に*9を頭に入れ、計算をだしています。
よく考えて上と同じ過程の計算を下でもしてください。

お礼

No.1からNo.15までの皆様へ御礼申し上げます。
何となく「宇宙の果て」とは何？という質問に似ているような気がします。

回答No.14

crooked_man

よけいわかりにくくなってしまうかもしれないのですが、ほかのかたとはちょっとちがう見方で説明してみます。

1/9×9と9/9は、「ぜったいに同じ答えになります」

というのは、数学というのは、絶対に正しくなるものを定義していくことでなりたっているからです。/（割り算ですね）、×（かけざん）の定義から、上の式は同じになるのです。
これは、大学で数学をやるとわかってくることです。
小数で書くと、0.9999....というようになりますが、これはあくまでも人間が「どう見えるか」であって、式の中味は、人間がどう見えるかとか、そういうものの外で決まっていると考えるといいです。

ですから、その逆もありえるんですよ。1/9×9が9/9と同じ（＝）にならない数学の世界を作り上げることも（作ろうと思えば）できます。
たとえば、1＝-1であるような世界も作ることができるんですよ（「＝」はわたしたちの考える「＝」として、です）。
あくまでも人間に一番しっくりくるように割り算、かけざんの世界を作っているのであって、もっと別の空間では違う掛け算がありえます（大学で専攻するとやります）。

ですから、同じになるのかどうか、というよりも、「式の作り方により、同じになる」といったほうが正しいです。0.99999....というのは、人間の「見た目」であって、それが1/9を意味しているのであれば、9をかければ1になるんです。神様からみれば、0.99999...というのは、1と同じように見えます。（神様、っていうのは、言葉のあやですが。）人間は無限個先を見ることができないので、0.999999（9が無限に近く続く）と、0.99999....（無限個続く）の区別がつきません。

余計困難させちゃったかも、、、

回答No.13

yoikagari

(1.00000000…)-(0.999999・・・)を計算してみるといいと思います。

1.00000000000・・・
-0.99999999999・・・
――――――――――
0.00000000000・・・

もし1が0.999・・・より大きいならどうなるか考えてみてください

回答No.11

ritumushi

数直線に数(実数）を対応させること、考えれば納得できると思います。１に対応する点がただひとつあります。0.9に対応する点も、ただ、ひとつ定まる。0.99に対応する点も、ただ、ひとつ定まる。以下同様に0.99・・・9（9の個数は、有限個）に対応する点がただひとつ定まります。0.999・・・(9の個数が無限個）に対応する点を考えると,１に対応する点と一致することがわかるとおもいます。（１の席しかありません。）

回答No.10

noname#10657

同じです。
例を1/3にして考えますが、
1/3を少数に直すところが間違っています。
1/3は0.33333・・・ですが、0.33333ではありません。
簡便的に0.33333・・・としていますが、そもそも、
饅頭を3等分したものです。３等分した饅頭を集めると、きっちり１になります。
よって、少数にすること自体が無理なのです。
ここに誤りがあります。

回答No.9

KanjistX

中学か高校で聞いた説明を紹介します。

　10x0.999999..... = 9.99999.....
-) 1x0.999999..... = 0.99999.....
---------------------------------
　 9x0.999999..... = 9
　　 0.999999..... = 1

→証明終わり

9.99999....も0.99999も小数の桁がどこまでいっても同じだけ9がずらーっと並ぶことが前提になります。
全然厳密ではないですが、理解の上ではわかりやすい証明かと思います。

回答No.8

shkwta

ご質問は、証明が知りたいということですね。

T(N) = 1-(1/10)^N と定義します。(^Nは、N乗の意味です）
たとえば、
T(1) = 0.9
T(2) = 0.99
T(3) = 0.999

循環小数0.99999・・・は、lim[N→∞] T(N)と定義されます。

lim[N→∞](1/10)^N＝0 ですから、 lim[N→∞] T(N)＝1　です。

より厳密には、任意の正の数εについて、それぞれ
「M＞N ならば 1-ε＜T(M)」
を満たす自然数Nが存在するので、lim[N→∞] T(N)＝1　です。
---------------------------
証明は以上ですが、すこし違う解説をします。

仮に1＞0.9999・・・だとします。

すると、
c = 1 - 0.99999・・・
としたとき、1＞c＞0になるわけです。

cは正の数だから、これを小数で表わしたとき、どこかに0でない桁があります。すると、
d = c + 0.999999・・・
を計算すると、その0でない桁から順にくりあがって、

d = 1.0000000・・・000abcde・・・
の形になります。このとき、aから下の桁にかならず0でないものが含まれるので、
d＞1
となります。仮定によれば d = 1でないといけないので、これは矛盾です。

回答No.7

1fan9

9/9=9x1/9=1/9x9で同じになると思います。
強引に小数になおすと

9x0.111111.....=0.111111.....x9

皆様の仰るよう0.111111.....x9は1とみなされます。

回答No.6

ymmasayan

どんな説明を聞いてもあなたの悩みは解決し無いと思います。
悩みを解決する方法はただ一つ、0.9999999・・・・・＝１を信じるしかありません。
どこまでいっても0.9999999・・・・・は１に近づき続けるだけで１にはなりません。
でも、数学的にはこの状態を「極限では１になる」と言います。
これが信じられないと微分や積分で苦労します。

回答No.5

nikumaru1208

数学の世界では0.99999…は1と認識するそうです．

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/