凹面

質問

「おもしろ数学」（著・仲田紀夫）という本に平行線の本数は面の種類（凸面、平面、凹面）により異なるとかいてありました。ここでは平行線の本数ではなく、凹面についてです。
この本には図が書いてあったのですが、凹面は永遠に広がりつづけるのですか？
クラウンの壷？（名前は不確かです）の様なのは何面なんですか？

回答No.4

nucomewl · ベストアンサー

数学的に厳密ではありませんが、こう説明するのが一番簡明だと思います。

二次元の世界に住んでいる人がいて、そこの上の人が三角形を書いたとします。そのときに、角度の和が180度を超えていたらこの場所は凸で、ぴったしなら平、小さかったら凹です。(だからその角度の和は場所による。)(曲率のイメージ)

さらにこの世界では同じ大きさの三角形を描けば必ず内角の和が等しいとしましょう。このときにその本では凸面、平面、凹面と呼んでいるのだと思います。
そのとき、凹面では交わらない線は無限に引けます。

(ここでの凹面がパラボラアンテナみたいなものではなくて馬の鞍みたいなものであることに注意。パラボラアンテナは皆さん書いていますがこの分類では凸面です。)

クラインの壷というのは平面のつながり方です。クラインの壷の上にいるクラインの壷人が旅行に出たとします。この壷人は東に旅すると西からもどってきます。北に行くと南から戻ってこれるのだけど、なぜか右利き壷人はこうして戻ってくると左利きになります(便利ですね!)。勿論、もう一回北へ旅すれば右利きにもどります。

三角形を書いて内角の和を調べるのは壷の世界の人もできて、壷の世界にも凹凸があるもの、平たいものなどがあります。(角度の存在しない壷の世界もある)

もう一つの壷の世界の特徴は、壷人の世界の道路建設のときに分かりました。壷城から出て壷城へ戻る大通りを2本作りましたが、この世界のどんな二つの場所でもこの大通りを渡らずに行けるのです。(不思議ですよね。山手線だったら、山手線の中の人と外の人が会うためには山手線の下をくぐるか上をとぶかしないといけませんよね。)そして、もう一本大通りを作るとどんな作り方をしても渡らないといけない場所ができてしまいます。

この世界は実は我々のいる世界の中に"埋め込む"ことができるかという問題があります。クラインの壷の絵が書けないといわれることがあるのは、埋め込むことができないということです。グロタンディエクさんが書いている"完備で滑らかな定曲率双曲面は３次元ユークリッド空間の中には存在しない"は、ちょっとごまかすと同じ大きさの三角形を描けば必ず内角の和が180度よりも小さい値で等しいものの模型は正確には作れない(埋め込めない)よ、ということです。

えっと、喩えが変ですが数学的にはあってます。笑

補足。
広さが有限で端っこのない二次元は、上の条件を満たす大通りの数と利き手を変える旅行法があるかで決まります。
球の表面：大通り0、旅行法なし
トーラス(ドーナッツ型)：大通り2、旅行法なし
クラインの壷：大通り2、旅行法あり
二つ穴ボタン：大通り4、旅行法なし

微分幾何と位相幾何のお話でした。

回答No.3

grothendieck

双曲面は球面を裏から見たものではありません。平面の主曲率をκ1とκ2、ガウス曲率をKとするとK=κ1κ2でK=一定, K>0の場合が球面、K=0 の場合が平坦、K<0 の場合が双曲型です。球面を裏から見てκ1とκ2の符号を同時に変えてもKの符号は不変、球は裏から見ても球面です。双曲面はκ1とκ2の符号が異なる場合で、よく描いてあるように鞍のような曲面になります。ただしこれも定曲率双曲面ではありません。完備で滑らかな定曲率双曲面は３次元ユークリッド空間の中には存在しないことが知られています。定曲率双曲型空間の測地線はsinhとcoshで表わされ、双曲線ではありません。

回答No.2

baihu

ご質問の書籍を読んでいませんが、平行線の話から推察すると、おそらく「球面、平面、双曲面」モデルを説明したものではないかと思います。
（「凸面、平面、凹面」というと誤解があるのではないでしょうか）

大雑把に言えば、球面は、ある部分から平面に広げようとすると、端の方にいくにつれ足りなくなって破れてしまうもの、双曲面は、端の方にいくにつれダブダブと余ってしまうもの、というとイメージできるでしょうか。

凸面も凹面も、球面を表から見るか裏から見るかの違いであって、この話の場合、同じものになります。

双曲面が無限に広がり続けるのかという点については、そう考えてよいと思います。円周をたどると元のところに戻ることと球面を対応させると、双曲面は双曲線に対応します。ずーっと続いていますよね。

「クラインの壷」というのは、トポロジーという数学の分野で、「メビウスの輪」の拡張版のようなものですが、ちょっと上の分類とは毛色が違います。強いて言えば、「クラインの壷」という名称の面です。

球面や双曲面という話では、面の曲がり具合（曲率）に注目しているのですが、クラインの壷などは、向きやつながり具合に注目しているんですね。

回答No.1

grothendieck

正の定曲率平面(球面)では2本の平行線を引くと必ず交わります。交点を越えてさらに進んでいくと再び元の交点に戻ってきます。つまり球面上では元の点に戻らないような直線は引けないのでコンパクト(広がりが有限)であることが分かります。一方、平面や双曲面(凹面)では交わらない平行線が存在します。つまり直線に沿ってどこまでも進んで行くことができ、コンパクトでない(無限に広がっている)様にすることができることが分かります(厳密な説明ではないと思います)。しかしだからといって平坦または双曲的多様体がコンパクトでないかというと、それは少し違います。平面をトーラスまたはクラインのつぼに分割するとコンパクト多様体になることは明らかです。双曲平面の場合もユークリッド的ではない正８角形によるタイル張りがあることが知られています。またザイフェルト=ウェーバー多様体他、ほとんどのコンパクト３次元多様体が双曲型であることが知られています。 宇宙もかっては曲率が正の場合は有限な宇宙、曲率が０または負の場合は無限の宇宙と考えられていましたが、最近では必ずしもそうではないと考えられるようになりました。