一筆(ひとふで)書きの問題です

質問

「ゲーム」カテゴリの方がふさわしいのかもしれませんが。

昨日、家の本棚にあった
中島らもさんの「ますます明るい悩み相談室」（朝日文芸文庫）
をパラパラ眺めてましたら、下図のような絵が「一筆書きで描けるらしいのだが、
答えがわからなくて20年近く悩んでいる」との旨のご質問がありました。
さすがの らもさん もこの問題には降参で「おかげで何時間も時間を無駄にされた」
「こんな難問を人にポンと下駄を預けるようにして」とおかんむりでした(笑)

わたしも降参なのですが、実際のところ、これは "ほんとに"
一筆書きで描けるんでしょうか。解けなくてむずむずします。

質問者は友人から「コンピュータは描けるんだよ」ということで、
この問題を教わったそうです。
（ご友人の言葉は、言葉通りの意味とは違っているのでしょうか。）

===　等幅フォント推奨(^^;　===

　　／＼　／＼
　－－－－－－－
　｜＼／｜＼／｜
　｜／＼｜／＼｜
　－－－－－－－

ちゃんとした絵ではないので、この図ではわかりにくいと思いますが、
家が２つ接して立っているような図です。
正方形の中にペケ印に対角線が引いてあって、その上に三角形が乗っています。
三角屋根の底辺＝正方形の上辺、左の正方形の右辺＝右の正方形の左辺、です。

============================

おヒマなときにでもチャレンジしていただいて、
「一筆書きの描き方（正解）がわかった方」、
または「絶対に一筆書きでは描けないことを証明できた方」
がおられましたら、教えていただけましたら幸いです。
必要でしたら「わからないことがわかった」とのボヤキもどうぞ(^^;
（もしずっと回答0件だったらさみしいですし）

こんなわけなので上記いずれかのご回答をいただくまで締め切りできない
気持ちでおりますが、ご理解の上よろしくお願いいたします。
案外あっさり片付くことを祈ってます。

回答No.2

Yas_Fuku · ベストアンサー

barbieriさんのおっしゃるとおり、これは一筆書きできません。

少し補足します。一筆書きができる条件（必要条件？）として「各頂点（というか交点）に集まってくる線の数が、すべて偶数か、あるいは２つのみ奇数で残りが偶数である」というのがあります。

一筆書きができるのであれば、始点と終点以外は、各点に入った線は必ず出て行かなければなりません。したがって、始点と終点以外では、各点に集まってくる線の数は偶数でなければなりません。そして、もし始点と終点が同じ場所になる場合は、すべての点に集まる線の数は偶数です。別の場所になる場合は、始点と終点のみ奇数、残りはすべて偶数になります。

・・・拙い説明ですが、お分かりいただけたでしょうか・・・？

お礼

＞・・・拙い説明ですが、お分かりいただけたでしょうか・・・？
とんでもない、わかりますわかります、すごくわかりやすかったです。
丁寧なご回答、どうもありがとうございました☆　おかげですっきりしました。

回答No.8

ichigota

補足です。似たような問題を思い出しました。
これなら描けるんですけどね・・・
（うまくみえるでしょうか？）

　　　－－－
　　／Ｘ　／＼
　－－－－－－－
　｜　　｜＼／｜
　｜　　｜／＼｜
　－－－－－－－

やねのＸのところは、そこの平行四辺形の対角線になるようにします。

お礼

＞（うまくみえるでしょうか？）
わかります(^^) ありがとうございます。あとで解いてみますネ☆

みなさま、どうもありがとうございました。
おかげさまで今後、一筆書きには自信が持てそうです。

回答No.7

ichigota

みなさんが仰っているとおり、普通のやりかたでは描けないと思います。

ところで、昔「一休さん」というテレビアニメで
漢字の「田」を一筆書きで描けるかという問題が有り、
とんちをつかって描いた話があったのを思い出しましたので
紹介させていただきます。

それは、紙の端を折って紙の裏を通れば、その紙から筆を離さずに
「田」の字を描きあげることができるというものでした。

ご参考までに。

お礼

そっかぁ、やっぱり頓知も必要でしたね。

＞紙の端を折って紙の裏を通れば、
#6のご回答と似たような方法ですネ。
どういう順番で描けばいいか、それはそれでまた考えてしまいますけど(^^;

どうもありがとうございました。

回答No.6

ADEMU

平面上では無理ですが刺繍の概念から考えれば可能です。真ん中の屋根の谷間から針を通し、交互に縫っていけば表は一本ずつ線ができあがります。

お礼

なるほどー。....うむむ?（新たな難問を抱えたような気も....(苦笑)）
ともあれ、ナイスな頓知、どうもありがとうございました。

回答No.5

prome

答えは出ているようなので、学問的に少し追加を。

ケーニヒスベルクの７つの橋の問題は、数学者のオイラーが発展させ、
位相幾何学という数学の一分野の幕開けとなりました。
従来の幾何学では、線の長さ、２つの線のなす角度、
曲線ならその曲がり具合（曲率といいます）を調べるのが主眼と
なっていたのに対し、位相幾何学では線や面のつながり具合を
調べるのが目的です。一筆書きは線が曲がっていても折れていても
関係ないですから、まさに一筆書きの拡張が位相幾何学に
なっています。

オイラーは後にオイラー標数と呼ばれる位相不変量を発見しました。
閉じた2次元曲面はどのように三角形分割しても、
（点の個数）－（線の個数）＋（面の個数）の値は常に一定というのが
オイラー標数。

オイラーの時代の数学では位相幾何学を代数的に扱う道具が
十分になかったのですが、そういう時代にこれだけの
業績を残したというのは、さすがというほかはありません。
19世紀になってフランスのポアンカレという数学者が
ホモロジー群や基本群の考えを導入して、位相幾何学は
代数的手法で議論されるようになり、代数的位相幾何学が
生まれました。代数的位相幾何学は20世紀になってものすごく
発展し、そこから生まれたコホモロジー論は他の数学の分野にも
応用されています。

ケーニヒスベルクの橋という単なるパズルのような問題から、
数学の一大分野が誕生したというのは、面白いことです。

お礼

＞まさに一筆書きの拡張が位相幾何学になっています。
おーなるほど～。

＞閉じた2次元曲面はどのように三角形分割しても、（後略）
閉じた二次元曲面というのは、球体の表面を想像すればいいのですね(?)。
ふむふむ。それを三角形に分割....むむむ　←実はよくわかってない(^^;　スミマセン

＞ケーニヒスベルクの橋という単なるパズルのような問題から、
＞数学の一大分野が誕生したというのは、面白いことです。
ほんとですね。

（わかれば）おもしろそうな豆知識(?)を教えてくださって、どうもありがとうございました(^^)
（コホモロジーなんて初めて聞きました。）

回答No.4

phantom2

追加レスです。
ちょっと気になったので上手い説明をしたサイトがないか調べました。
参考URLが良いようですが、
「ケーニスベルグの橋」については以下のURLにも簡単なコメントがあります。
http://www.misatojh.town.misato.wakayama.jp/sibata/sentaku08.htm
それからさっきの図形失敗したのですが柱の部分は三本とも屋根の付け根から下まで真っ直ぐで段差みたいなものはありません。
長くなってごめんなさい。

参考URL：

http://www.nnc.or.jp/~ozaki/hitofude/hitofudejugyo.html

お礼

ご親切にどうもありがとうございました。
参考URLもわかりやすかったです。
末尾の【問題３】の、キがわたしの挙げた図、クがphantom2さんの図ですね。

＞さっきの図形失敗したのですが
ていうか、もともとのわたしの図がアレでしたしね(笑)。

　　／＼　／＼ 　　　　　最初にわたしが横線を
　 －－－ －－－　　　← こんなふうに描いておけば
　｜＼／｜＼／｜　　　　マシだったかもですネ。
　｜／＼｜／＼｜ 　　　　訂正しておきます。
　 －－－+－－－
　｜　　｜　　｜
　 －－－ －－－

回答No.3

phantom2

最初に答えから言いますと、不可能です。
一筆書きには幾何学法則（名前忘れました。確か「なんとかの橋」とかいった記憶が(^^;）があり、
「奇数点が０個か２個のときだけ，一筆書きで図形が書ける」というものです。
また、
「奇数点が２個あったら，その一つから書き始めなければいけない」
「偶数点ばかりだったら，どこから書き始めてもよい」
というものもあります。
（奇数点とは一つの点から出ている線が奇数個の交差点（又は頂点）で、と偶数個の場合を偶数点といいます。）
似た図形で
下に漢字の山をつけたような物

　　／＼　／＼
　－－－－－－－
　｜＼／｜＼／｜
　｜／＼｜／＼｜
　－－－－－－－
　｜　　｜　　｜
　－－－－－－－
があります。（上手く表示できてますかね？(^^;
これは奇数点の数が２個なので可能です。

お礼

ご回答どうもありがとうございました。

＞一筆書きには幾何学法則
おぉー、やっぱり数学カテゴリへの質問でよかったのですネ。

＞（上手く表示できてますかね？(^^;
大丈夫です。

回答No.1

barbieri

奇数の交点が３箇所あるので一筆書きは不可能です。

３箇所とは
左の家の下の左隅、右の家の右隅、そして左右の家がくっついている真中の一番下
の場所です。

一筆書きが成り立つためには、奇数の交点が２箇所であることが条件です。

お礼

スピード回答、どうもありがとうございました。
なるほど、一筆書きには「描ける条件」というのがあったんですネ!