積分に関するシツモンですが。

質問

物理カテゴリと迷ったのですが、
質問の本質は数学であろうというコトでここにしました。

今、電荷qに帯電している物体Aがあります。そのAを点Oに固定します。

点Oからｒはなれた点に電荷qに帯電している物体Bをおくと、

そのBが持つ位置エネルギーは、無限遠点を基準に選ぶと、U=(kq^2)/rですよね。

このUを導出したいんです。

点Oからｘだけ離れているところにBをおいた場合、

Bが受ける力は、F = (kq^2)/x^2　(クーロン力)。

それで、Bを-Fの力で無限遠点からrだけ離れた点まで持ってきてやれば、

その-Fがした仕事の総和がUになるんですよね。

ここまではいいんです。以下が質問の本題です。

-FによってΔxだけ動かしたときに、この力がした仕事は-FΔx。

だから、

U = ∫(-F)dx(∞からrまで) = ∫{-(kq^2)/x^2}dx(∞からrまで) = (kq^2)/r

となる、と参考書に書いてあるわけですが、、、これはナゼ二ですか？

-FΔxを∞からｒまで集めてきた、としてなんとなく理解するのは簡単ですが、

厳密に教えてください。

あとあと、

Δxがdxになったとみていいんでしょうか？

∫(　　)dxってただの記号じゃなかったの、、、？

回答No.9

newtype · ベストアンサー

dw/dx=-F(x)をxで積分するわけですが、これはまず微分方程式を解くように不定積分から考えた方がいいですね。

∫(dw/dx)dx=-∫F(x)dx
⇔∫dw=-∫F(x)dx
⇒W=Kq＾2/x+Ｃ （Ｃは積分定数）
⇒x→∞のときW=0なので Ｃ=0
よって
W=Kq＾2/x
rをxに代入してやれば、位置ｒのときの位置エネルギーが求まる。
終わり

お礼

またまたありがとうございました。

newtypeさんのアドバイスをもとに、今度はW-xグラフを書いて考えてみた
ところ、また一つ理解が深まりました.

補足

※お礼の後に書きました.

それにしても、∫(dW/dx)dx = ∫dW というのは不思議ですよね.
形式的に書いたdxで(dw/dx)のdxが約分されてしまうなんて…

∫(　　)dx　ていう形式的なもののハズのdxがこういう風に扱われることが
往々にしてあるので、なんか混乱してしまうんです.

これって、∫(dW/dx)dx = ∫W'dx = W (+C) , ∫dW = W + C

計算を実際にやってみたら結果がおなじだった、と解釈するしか
ないんでしょうか？なんか、もっと意味的な解釈の仕方があるように
思えてならないんですが、、、

まあ、、たぶん今説明してもらっても解らないでしょうから、
今回はこの辺であきらめます。

それでは、ありがとうございました。

回答No.8

brogie

補足の回答です。
＞-FΔxのΔｘをdxにすりかえて、その頭に∫をつけて、
＞そのままなし崩し的に∞からｒまで積分するとちゃんと答えが
＞でてくるのですが、これはなぜなのでしょう？

積分記号∫はSum（和）のSを伸ばしたもので、Leibniz（ライプニッツ）が始めて使ったようです。
このことからも、推測されますように、積分は和を表しています。

曲線y＝f(x)と、x＝aからx＝bと、x軸で囲まれる面積を求めることを考えてみましょう。（この説明はどの微積分の本にも書いてありますので、それらの本を読んで下さい。）

その区間の一つの長方形の面積はΔS＝f(x)Δxとなります。これをx＝aからx＝bまでのSumをとればよいでしょうから、
S＝limf(x)Δx　(Δx→0；Δx≠0)
この極限の値を
S＝∫f(x)dx　（x＝aからx＝b）
と書きます。
ここら辺の説明に解析学の本でさえ４，５ページは書いてあります。短い文章では説明尽くせません。悪しからず！

結果的にはあなたが言われるように、Δxをdxにすりかえた形になっていますが、あくまで、極限を取った結果です。

PS:newtypeさんへ、私もよく勘違いをします。お互い様です。これからもみなさんのために回答して下さい。

お礼

回答ありがとうございました。

>結果的にはあなたが言われるように、Δxをdxにすりかえた形になっていますが、
>あくまで、極限を取った結果です。

あまり深く考えないで、ただの結果と解釈してOKということですね。

そういう考え方の立場からもう一回考えてみました。
すると、どうやらはじめから∞を考えていたのがよくなかったみたいですね。

はじめは、Rからrの積分を考え、(そうしたら、普通に面積を求めるときと
同じようにできました。)　その後、R→∞としたらうまくいきました。

なんだかまだモヤモヤがカンペキにとれたというわけでもないんですが、
きっとこれは、時間(経験)でしか解決できないんでしょうね。(天才以外。あるいは
凡人のぼくだけか、、、)　そんな気がします。

そんなこんなで、つきあって頂いてどうもありがとうございました。

……ねむいので、明日(8/3※今日とも言う)締め切りさせてもらいます。

回答No.7

newtype

blogieさんへ
私は結果だけ見て判断してしまいました。気を悪くしないで下さい。

det＿mul2さんへ
区分求積法を習えば、Σ→∫、f(xk)→f(x)、Δｘ→dxと対応しているのがわかります。
detmul2さんは高校の数(3)や数Ｃを習いましたか？
もしまだ習ってないなら、深く考えても時間の無駄なのでわかったつもりになって
使いつづけましょう。いつかわかる日がきます。ところで私の解答ではわからなかったでしょうか。
一応 ΔＷ≒－Ｆ(ｘ)Δｘ→∫ｄＷ＝－∫Ｆ(ｘ)ｄｘ
と数(3)の知識で証明していると思うのですが。
これを形式的にみると、ΔＷ→ｄＷ、Δｘ→ｄｘとして∫をつけただけですね。

お礼

回答ありがとうございました。

もう一回最初から考えてみました。
すると、どうやらはじめから∞を考えていたのがよくなかったみたいですね。

はじめは、Rからrの積分を考え、(そうしたら、普通に面積を求めるときと
同じようにできました。)　その後、R→∞としたらうまくいきました。

なんだかまだモヤモヤがカンペキにとれたというわけでもないんですが、
きっとこれは、時間(経験)でしか解決できないんでしょうね。(天才以外。あるいは
凡人のぼくだけか、、、)　そんな気がします。

そんなこんなで、つきあって頂いてどうもありがとうございました。

……ねむいので、明日(8/3※今日とも言う)締め切りさせてもらいます。

P.S.数(3)はすでに習い済みですが、高校の頃は計算法だけマスターして、
　　あとは問題を解くだけ、といったことしかしていなかったので、
　　理解はうすっぺらでした。で、今、このままじゃマズイ、というコトで、
　　理解を深めようかな～と思ってぼちぼちやってるところ、
　　というワケなんですが…

回答No.6

brogie

No.5のnewtypeさんのご指摘ですが・・・

＞（Ｎ＊ｍ＾2/C＾2）*C*1/ｍ＝Ｎ＊ｍ／Ｃとなり、・・・

１と書いてあるのは＋１クーロンですからCになります。したがって、Ｎ＊ｍになります。

では。

回答No.5

newtype

blogieさんの回答はどこかちがいます。
なぜならば、kq/rの単位を計算してみると、
（Ｎ＊ｍ＾2/C＾2）*C*1/ｍ＝Ｎ＊ｍ／Ｃとなり、仕事やエネルギーの単位Ｎ＊ｍ
に反するからです。

回答No.4

brogie

stomachman先生が答えられていますが、小生は電荷の位置エネルギーについて回答します。

カテゴリーは物理学でしょう。
あなたの質問の仕方は「五つ星」です。途中までご自分で解いて、どこが理解できていないのか、ハッキリしてます。皆さんもこのように質問されますと沢山の先生方が回答してくださるでしょう！

位置エネルギーに付いての説明です。

まず、高さｈにある物体m（質量もm）がもつ位置エネルギーUは
（１）「その点から基準点まで移動した時、重力がする仕事」
または、
（２）「基準点からその点までに移動させた時に外力がした仕事」
と定義されます。

（１）に従って計算してみましょう、y軸を上方向に取ります。
下向きに重力が働きますから-mg
移動はy2-y1=Δy
Δy移動した時の仕事は　
(-mg)*（Δy)=-mgΔy

ゆえに、
U＝∫-mgdy[hから0まで]
＝-mgy[hから0まで]
＝mgh
となります。

（２）に従って計算してみましょう、外力F=mgも移動も上方向ですから、
U＝∫mgdy[0からhまで]
＝mgh
です。

静電気による位置エネルギーは、
（３）「単位電荷が基準点まで移動したときに、その静電気力がする仕事」
または、
（４）「単位電荷を基準点から、その点まで移動させた時に、外力がした仕事」
と定義できます。
基準点は理論上は無限遠にとり、実用上は地球にとります。

（３）により計算してみましょう。
電荷qからr点にある単位電荷+1を、その点から、無限遠まで移動したときの単位電荷+1がした仕事Uを求めればよいでしょう。
その電荷に働く力Fは、r方向と同じですから、＋です。
F=kq/r^2
移動距離をΔrとすると
ΔU＝F*Δr＝(kq/r^2)Δr
ゆえに
U＝∫(kq/r^2)dr[rから∞]
＝-kq/r[rから∞]
＝-kq/r[∞]ー（-kq/r）[r]
＝kq/r
となります。

（４）により計算してみましょう。
外力Fは座標の取り方（電荷qから外向き）と逆向きですから、
F＝-kq/r^2
となります。
ゆえに
U＝∫(-kq/r^2)dr[∞からr]
＝kq/r[∞からr]
＝kq/r[r]ー（-kq/r）[∞]
＝kq/r
となります。

小生は、物理学から離れて20年近くになりますから、間違いや勘違いがあると思いますから、その時はご容赦下さい。

田舎に住む一老人より（＾＾）

お礼

>あなたの質問の仕方は「五つ星」です。途中までご自分で解いて、どこが理解でき
>ていないのか、ハッキリしてます。

すみませんでしたっっっ
ほめられて大変喜んでいたんですが、
も一度よく自分の書いた質問を読んでみたら、本当に聞きたいことが
十分に主張されていませんでした、、、

---補足的なモノ---
-FΔxのΔｘをdxにすりかえて、その頭に∫をつけて、
そのままなし崩し的に∞からｒまで積分するとちゃんと答えが
でてくるのですが、これはなぜなのでしょう？
この一連の形式的操作の意味的ストーリーを知りたいのです。

今ちょっと見えかけてる気もするんですが、やっぱりワカリマセン。

もしよかったら、すみませんが、またお願いします。

モノワカリ悪くて迷惑かけますが...__

P.S.しかし、、、物理学から離れて20年だというのにここまで
　　明確に憶えておられるとは、スゴイですね。
　　やはり、本質をキッチリ理解していればめったなことで忘れることなどない、
　　ということですかね...

回答No.3

ymmasayan

＜　Ｕ= ∫(-F)dx(∞からrまで) = ∫{-(kq^2)/x^2}dx(∞からrまで) = (kq^2)/r
となる、と参考書に書いてあるわけですが、、、これはナゼですか？

積分はご存知だけど、あまりお詳しくないという前提で。置換積分は避けて、積分の基本公式で。
Ｕ＝∫｛－（ｋｑ＾２）／ｘ＾２｝ｄｘ＝－ｋｑ＾２∫（ｘ＾（－２））ｄｘ

ここで　∫（ｘ＾ｎ）ｄｘ＝（ｎ＋１）ｘ＾（ｎ＋１）・・・ｘが－１の時を除く
の基本公式を使って

Ｕ＝［（－ｋｑ＾２）（－１）（ｘ＾（－１））］＝［ｋｑ＾２／ｘ］・・積分範囲省略

ではいけませんか。前後の部分は他の方の解説が詳しいので省略します。

お礼

すみませんでしたっっっ

も一度よく自分の書いた質問を読んでみたら、本当に聞きたいことが
十分に主張されていませんでした。

---補足的なモノ---
-FΔxのΔｘをdxにすりかえて、その頭に∫をつけて、
そのままなし崩し的に∞からｒまで積分するとちゃんと答えが
でてくるのですが、これはなぜなのでしょう？
この一連の形式的操作の意味的ストーリーを知りたいのです。

今ちょっと見えかけてる気もするんですが、やっぱりワカリマセン。

もしよかったら、すみませんが、またお願いします。

モノワカリ悪くて迷惑かけますが...__

回答No.2

newtype

まずＡとＢは同符号なのですから、クーロン力は斥力になりますよね。
つまり、点電荷Ｂの受ける電気力Ｆに逆らって無限遠点からｒの位置までもってく
くるわけです。したがって加える力は－Ｆとなります。

Ｆ＝Ｆ(x)=kq＾2/ｘ＾2とすると、位置ｘから位置（ｘ＋Δｘ）まで移動させたときの
仕事ΔＷは下記のように近似できる。

ΔＷ≒－Ｆ(x)Δｘ (これより－Ｆ(x)のグラフとｘ軸で囲まれる面積は仕事を
あらわすことがわかるね。)

両辺をΔｘで割って
ΔＷ／Δｘ≒－Ｆ(x)
よってΔｘ→０とすれば
ｄＷ／ｄｘ＝－Ｆ(x)となるよね。

これをｘで∞からｒまで積分してやれば、置換積分法の公式により

∫ｄｗ＝－∫Ｆ(x)ｄｘ （積分範囲はあると思ってください）
よってこれを計算して
Ｗ＝（kq＾2）/rとなります。

無限遠点での位置エネルギーは０なので
よって求める位置エネルギーＵは０＋Ｗより

Ｕ＝Ｗ＝(kq＾2)/r
終わり

お礼

すみませんでしたっっっ

も一度よく自分の書いた質問を読んでみたら、本当に聞きたいことが
十分に主張されていませんでした。

---補足的なモノ---
-FΔxのΔｘをdxにすりかえて、その頭に∫をつけて、
そのままなし崩し的に∞からｒまで積分するとちゃんと答えが
でてくるのですが、これはなぜなのでしょう？
この一連の形式的操作の意味的ストーリーを知りたいのです。

今ちょっと見えかけてる気もするんですが、やっぱりワカリマセン。

もしよかったら、すみませんが、またお願いします。

モノワカリ悪くて迷惑かけますが...__

回答No.1

stomachman

まさに区分求積法。

> ∫(　　)dxってただの記号じゃなかったの、、、？

微積分の創始者のひとりライプニッツの時代には、たしかにただの記号でした。その意味は、
S(Δx)=Σ(f(nΔx+r) Δx) Σはn=0,1,2,....について取る
という量を考えて、
　lim 　S(Δx)
Δx→0
のことを
∫ f(x+r) dx　　　(xは0～∞)
と書くってことです。これは
∫ f(x) dx　　　(xはr～∞)
と同じ。

物理数学では
　lim 　Δx
Δx→0
をdxって書いて、
x/n=dx
と考えちゃう。これで旨く行く理由は、じつは「超準解析」という数学の分野で保証されています。超準解析では、dxは普通の数ではなくて、「無限小」という性質をもつ、普通でない数（実数の概念を拡張したもの）、nは普通の自然数ではなくて、無限大という性質をもつ、普通でない数（整数の概念を拡張したもの）として扱われます。

お礼

アドバイスありがとうございました。

-FΔxのΔｘをdxにすりかえて、その頭に∫をつけて、
そのままなし崩し的に∞からｒまで積分するとちゃんと答えが
でてくるのですが、これはなぜなのでしょう？
この一連の形式的操作の意味的ストーリーを知りたいのです。

stomachmanさんのアドバイスのおかげで少し見えそうな気もしてるんですが、
やっぱりまだハッキリしません。

もしよかったら、すみませんが、またお願いします。

モノワカリ悪くて迷惑かけます...__