証明問題。（大学入試レベル）

質問

この問題がわからなくて困ってます。
誰か解けた方がいらっしゃいましたら、おしえていただけないでしょうか？

1辺の長さが１の正方形がある。
この正方形の周および円の内部に10個の点A1,A2,A3,・・・・,A10があるとき、
次の不等式を満たす点Ai,Aj(i≠j)となる点が必ず存在する事を示せ。
AiAj ＜ 1/2

回答No.4

springside · ベストアンサー

No.2さんの部屋割り論法を使うと以下のように解決します。

問題の正方形を、各辺に平行な辺を持つ、各辺の長さが1/3の小正方形9個に分割する。

｜￣｜￣｜￣｜
｜￣｜￣｜￣｜
｜￣｜￣｜￣｜
　￣　 ￣ 　￣　

点の数は10個であるが、小正方形の数は9個であるため、2個以上の点を含む小正方形が、少なくとも1つ存在する。（←部屋割り論法）

そのような小正方形の中の2点を考える。その2点間の距離の最大値は、2点が小正方形の対角線上にある場合であり、その距離は(√2)/3であるが、
　(√2)/3＜(1/2)
である。

つまり、最大でも1/2より小さいのであるから、距離が1/2よりも小さい2点が存在することが示された。

（注：上記解答では、小正方形の各辺がどの小正方形に含まれることにするか定義していませんので、ちゃんとした解答では、その点を定義する必要があります。）

回答No.6

gamasan

あぅ記入ミス　最後から2行目　1/2より短い距離

回答No.5

gamasan

はぁ　皆さん頭がいいですね　感心しました。
なるほど　AiAjってのが2点間の距離なんですね
それで納得できました
そうなると　各点の距離を全て1/2以上離す条件を
考えると　正方形の各角の4点　各辺の中点
そして中心点の合計9点が最大になります
ゆえに10点目をどこに置こうが　どれかの点から
1/2の距離になります
直感的な回答ですが。。

回答No.3

kyotowim

問題が簡単すぎる気がするので、何か勘違いしているかもしれませんが、１）各点を中心とする半径0.5の円を考える。２）それらの円が重ならないように、正方形の中に配置する。
という手順で考えてみては？円ではなく、円の４分の１で考えたほうがいいかな。
（きちんと考えてはいませんが、たとえ上記の４分の１の円で考えても、１０個でなく６個程度でもいい気がします・・・？）

回答No.2

eatern27

＞この正方形の周および円の内部に
は、「この正方形の周および内部に」の事でしょうかね。

ヒントは、部屋割り論法(鳩の巣原理)
つまり、９個の部屋があって、１０人の人がいたら、同じ部屋に入る２人がいます。

回答No.1

gamasan

ん？問題文正しいですか？
円の条件がまったくわかりませんが