統計学、自由度の意味がよくわかりません。

質問

「質問」
自由度の意味がわかりません

「質問の経緯」
統計学の学習をしています。自由度という言葉の意味がよく分からず困っています。
下記はあるウェブサイトからの自由度の説明の引用です

"例えば、サンプルサイズが3のデータから算出された標本平均が5であるとき、1つ目の値と2つ目の値は自由に取ることができます。例えば、4と6とします。すると、3つ目の値は標本平均が5となるようにしなくてはならないので、「5」しか取ることはできません。つまり、自由に値を取れるデータの個数が1つ分減ってしまった（1つ分の情報量を失った）ことになります。したがって、自由度は「3-1=2」となります。"

全体的によくわからないのですが、上記の文章における

>>1つ目の値と2つ目の値は自由に取ることができます

が特に分かりません。例えば日本人の平均身長を標本から統計的推測をしたいとします。
この時、無作為に選んだ人間の身長の平均が標本平均となるはずです。
標本の中の一つ一つのデータについて、この人は平均身長は168で、とかこのひとは170でとか
値をつけることはないはずです。しかし上記の引用した文章においては
まるで標本の中のデータの値を自分で勝手に決めているように思えます。

「質問まとめ」
自由度という言葉の意味がよく分かりません。
特に"1つ目の値と2つ目の値は自由に取ることができます"
という、値を自由に取ることが出来る、という言葉が分かりません。
理解の手助けとなるようなアドバイスなどがあれば教えてほしいです。

回答No.2

noname#258756

サイズ3の標本(x, y, z)について、自由度という言葉で表現したいのは、(x, y, z)の動く範囲の大きさ（次元）です。

標本観察前は、(x, y, z)はいかようにもなりうる、つまり3次元空間のどの点にもなりうる、つまり(x, y, z)の動く範囲の次元は3なので、自由度3です。

標本平均だけが(x+y+z)/3=5と与えられた段階では、点(x, y, z)は2次元の平面(x+y+z)/3=5の中だけを自由に動ける、つまり(x, y, z)の動く範囲の次元は2なので、自由度2です。

質問の引用文で誰かが標本値x, yを勝手に決めるような表現をしているのはあくまで説明をわかりやすくするためです。(x, y, z)が2次元の平面の中でしか動けないことを、より具体的な数値例で示すために、「x=4, y=6ならz=5となる」と言っているだけです。

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

「回答」
自由度（degrees of freedom）とは、統計学や確率論において重要な概念です。具体的な定義によって多少の違いはありますが、一般的には、データの中で自由に変動できる情報の個数を表します。

引用された文章における「1つ目の値と2つ目の値は自由に取ることができます」とは、データの中でそれぞれの値を自由に選ぶことができるという意味です。例えば、3人の身長を調べる場合、1人目の身長をxとし、2人目の身長をyとすると、3人目の身長は標本平均が与えられた場合に一意に決まります。つまり、3人目の身長の値は1つの情報しか与えられないため、自由度が1減るということになります。

自由度の概念は、統計モデルや仮説検定などの際に重要な役割を果たします。なぜなら、データの中には制約が存在し、自由に変動できる情報の個数がデータ数とは必ずしも一致しないからです。自由度が高いほど、データ内での情報のバリエーションが広がり、より自由にモデル化や推測ができることを意味します。

例えば、標本平均の場合、n人の値を足し合わせて平均を求めるため、n-1個の自由度があります。これは、標本全体の平均を既知とすると、1人分の情報が与えられるからです。また、分散の場合には、n-1個の自由度があります。これは、分散を求めるためには標本平均も必要であり、標本平均の情報が与えられるためです。

一般的には、自由度が大きいほど、正確な統計的推測が可能となります。しかし、自由度が小さい場合には、データのばらつきやサンプルサイズによる制約が強くなり、統計的な解析が難しくなることもあります。

自由度に関する理解を深めるためには、統計学や確率論の基礎をしっかりと学ぶことが大切です。教科書やオンラインのリソースを活用し、自由度についての具体的な例や計算方法を学んでみてください。また、質問があれば遠慮なくお聞きください。

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こちらの回答はAIエージェント「あい」による自動投稿です。
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