三平方の定理の証明

質問

三平方の定理の証明はたくさんあると知りました｡みなさんの知っている証明をここに書いてくれると嬉しいです!(ベストアンサーを選択することはおそらくありません)

回答No.5

phistoric

三平方の定理は、直角三角形の斜辺の長さを表す式であるa^2 + b^2 = c^2で表されます。以下に、代表的な三つの証明方法を紹介します。

証明方法1：図形による証明

直角三角形ABCを描く。
辺AB、BC、ACにそれぞれ長さa、b、cを与える。
直角三角形ABCの外側に正方形DEFGを描き、辺DE、EF、FG、GDをそれぞれ辺AB、BC、AC、CAに平行に引く。
図形上で三角形ABCと正方形DEFGを分離し、余分な部分を取り除く。残った部分は、四角形ABGDと四角形BCEFである。
四角形ABGDと四角形BCEFは、それぞれ長方形であるため、面積はそれぞれabとc^2となる。
一方、正方形DEFGの面積は(c+a)^2となる。
四角形ABGDと四角形BCEFの面積の和(ab+c^2)は、正方形DEFGの面積(c+a)^2に等しい。
これを式に置き換えると、a^2 + b^2 = c^2が導かれる。
証明方法2：代数的な証明

直角三角形ABCを描く。
辺AB、BC、ACにそれぞれ長さa、b、cを与える。
三角形ABCの直角をBとし、角ABCをθとする。
sinθ = a/c, cosθ = b/c, tanθ = a/bであることを利用して、以下の式が導かれる。
a^2/c^2 + b^2/c^2 = (a^2 + b^2)/c^2 = (c^2/c^2) = 1
これを式に置き換えると、a^2 + b^2 = c^2が導かれる。
証明方法3：類似な三角形による証明

直角三角形ABCを描く。
辺AB、BC、ACにそれぞれ長さa、b、cを与える。
辺ABとBCにそれぞれ長さaとbを与え、頂点Bを通る直線を引き、この直線とACを交わる点をDとする。
三角形ABCと三角形CBDは相似であり、これらの比率は以下のようになる。
AB/CB = BC/BD = AC/CD

お礼

一気に3つも教えてくれてありがとうございます

回答No.4

staratras

小学生にも理解できるように文字式やその展開などしない「証明」です。
下の図の左側で「あ」の正方形は１辺の長さが直角三角形「え」の斜辺の長さで、「あ」の正方形の面積は大きな正方形から直角三角形「え」の面積の４つ分を引いたものです。…（１）

これを大きな正方形の大きさは変えない下の図の右側を見ると、「い」と「う」の正方形の１辺の長さはそれぞれ、直角三角形「え」の直角をはさむ２辺の長さに等しくなっています。「い」と「う」の面積の和も大きな正方形の面積から直角三角形「え」の４つ分を引いたものです。…（２）

（１）と（２）から「あ」の正方形の面積＝「い」の正方形の面積＋「う」の正方形の面積　です。

つまり「直角三角形の斜辺を１辺とする正方形の面積は、直角をはさむ残りの２辺をそれぞれ１辺とする２つの正方形の面積の和に等しい」ということが言えます。

お礼

「動かしても広さ(面積)が同じ」ことがわかれば大丈夫ですね!
Thank you!

回答No.3

staratras

三平方の定理の証明は古来さまざまな人が多数考案しています。その中で大きな正方形の中に4つの直角三角形（三辺の長さがa,b,cでｃは斜辺の長さ）と小さな正方形を作る発想のものを2種類挙げます。(大まかな流れです）
どちらも、大きな正方形の面積＝４つの直角三角形の面積＋小さな正方形の面積、です。

左側の図の場合
(a+b)^2=4×(1/2)ab+c^2
a^2+2ab+b^2=2ab+c^2
a^2+b^2=c^2

右側の図の場合
c^2=4×(1/2)ab+(a-b)^2
c^2=2ab+a^2-2ab+b^2
c^2=a^2+b^2

お礼

展開と文字式のルールがわかれば誰でもできますね!あくまで展開と文字式のルールがわかればですけど｡

回答No.2

f272

Ann Cinditが高校生のときに思いついたものです。
触覚三角形ABCのそれぞれの辺の外側に正方形を描いて、PはABの中点で,
RはPCを延長してFIと交わった点です。
角RIC=角BCA=角PCAで、角ICR=角BCPですから角Rは直角です。
またAP＝PCです。
これで(1/4)a^2+(1/4)b^2=三角形FCP+三角形ICP=(1/2)PC*FI=(1/2)PC*AB=(1/2)AP*AE=(1/4)c^2がわかります。

お礼

回答ありがとうございます!図だけ見ると「なんじゃこりゃ」と思ってしまいましたが,解説を見ると,思わず「なるほど」と思ってしまいました!

回答No.1

abiwirang

三平方の定理は、直角三角形の斜辺の長さを求めるために使用されます。以下に、三平方の定理の幾何学的な証明を示します。

証明：

まず、直角三角形ABCを考えます。ABとACは直角辺であり、BCは斜辺です。

次に、三角形ABCの各辺の長さをa、b、cとします。ここで、cは斜辺であり、直角を挟む2辺の長さを表します。

三角形ABCの面積をSとします。Sは以下の式で表されます。

S = 1/2 * b * a

また、Sは以下の式でも表されます。

S = 1/2 * c * h

ここで、hはBCに垂直な高さを表します。

これら2つの式を等しく設定し、hについて解きます。

1/2 * b * a = 1/2 * c * h

h = b * a / c

ここで、三角形ABHとACBは相似であることに注意してください。つまり、以下の比が成り立ちます。

AB / BH = AC / BC

これをBCについて解きます。

BC = AC * BH / AB

ここで、BHは先ほど求めたhです。

BC = AC * b * a / (AB * c)

BC^2 = AC^2 * b^2 * a^2 / (AB^2 * c^2)

同様に、三角形ABCの別の辺を基準にしても同様の式が得られます。

AB^2 = AC^2 * c^2 / (BC^2 - AC^2)

AC^2 = AB^2 * c^2 / (BC^2 - AB^2)

これらの式を使って、BC^2を求めます。

BC^2 = AB^2 + AC^2

したがって、三平方の定理が成り立ちます。

以上が、三平方の定理の幾何学的な証明です。

お礼

回答ありがとうございます!これなら中2でできますね!(受験生だったら5,6年でできるかも?)

補足

あ,中２じゃなくて中３だった