2π

質問

(2π)/3-7/(2π)<(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)
が成り立つことの証明を教えてほしいです。

eは自然対数の底で、πは円周率です。
証明のなかで使える評価はe<3<πとします。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

>ふつうに微積分で考えていても無理そう、ということなのですね。

ご質問の問題で使える条件に当てはまるかどうかはわかりませんが、比較的簡単な積分でπ＜22/7　を示すことができます。

f(x)=〔x^4(1-x)^4〕/(1+x^2) を0から1まで積分すると22/7-π　になります。0<x<1の範囲ではf(x)の分子も分母も正なのでこの定積分の値も正です。したがって、22/7-π＞0　π＜22/7 これから 2π<44/7 です。

ところで関数　X/3-7/X はx>0 では単調増加ですので
2π/3-7/(2π)<(44/7)/3-7/(44/7)=907/924<1 です。

一方(e^2π+1)/(e^2π-1)=1+2/(e^2π-1)>1　です

したがって　2π/3-7/(2π)<(e^2π+1)/(e^2π-1)　です。

補足f(x)=〔x^4(1-x)^4〕/(1+x^2) を0から1まで積分すると22/7-πとなる
f(x)=x^6-4x^5+5x^4-4x^3-4x^2+4-(4/(x^2+1)）と展開できるから
0→1　∫f(x)dx=［x^7/7-(2/3)x^6+x^5-(4/3)x^3+4x-4arctan(x)］(1-0)
=1/7-2/3+1-4/3+4-π=22/7-π

お礼

このような興味深い方法があるのですね…！！
ありがとうございました。

回答No.2

tmppassenger

あ、正しくはf(2π)と書いてある所は f(exp(2π))ですが、後は全部同じです。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

tmppassenger

> 証明のなかで使える評価はe<3<πとします。

これだけでは無理です。
右辺について、f(x) = (x+1) / (x-1) = 1 + 2/(x-1) とおくと、x>1でこれは単調減少、且つx -> ∞で f(x) -> 1となります。
一方、左辺について、g(x) = x / 3 - 7 / (2x)とおくと、x>0でこれは明らかに単調増加で、x->∞で g(x) ->∞ です。

従って、g(2π) < f(2π) を言うには、2πの値を『上から』抑える必要があります。もうちょっというと、明らかにf(2π) > 1なので、g(2π) < 1、つまり π < (3+√93) / 4 = 3.16...であることを言えばいいですが、先程も言った通り、πの値を『上から」評価出来ないと、どうしようもありません。

お礼

ありがとうございます。
ふつうに微積分で考えていても無理そう、
ということなのですね。