いわゆる星形のとがりの数と角度の関係を考えるには

質問

普通は五つのとがりをもつ星を描きますが、とがりの数を増やすと、その角度は小さくなります。とがりの数と内角の関係を考えてみたいのですが、何かヒントをいただけないでしょうか。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

No.2&3です。No.2の「お礼」に書かれたことについて考えてみました。

確かに、例えば「正5角形の各頂点を結んでできる星型」（以下「正5角星形」と呼ぶことにします）の各頂点の角はπ/5なので、正多角形の内角の公式((nー2)/n))πに形式的に代入するとn=5/2 となります。

正7角星形ならn=7/3、正9角星形ならn=9/4、一般化して正m角星形ならn=2m/m-1 をそれぞれ得ます。ご指摘の通り2<n<3です。

mが奇数のときを考えているのでm=2m'+1とおくと、
n=2m'+1/m'=m/((m-1)/2)となり、これが既約分数の形です。このnという分数が何を意味するかを考えてみました。以下がたどり着いた結論です。

分子はもちろんその星形の頂点の数です。分母は「ある頂点を出発して一筆書きで星形を描いた際に元の頂点に戻るまでに星形の中心から見て何周するか」を表しています。具体的に実験（？）するなら、星形の中心に棒を立て、星形を糸で描いた後その両端をもって引っ張ったときに、糸が棒に何回巻き付くか、ということです。

まとめれば、「正N角星形」は頂点がN個あり、一筆書きで描くと星形の中心を（N-1)/2 周する、ということが言えようかと考えます。これは「正」でない一般の星形でも言えると思いますが…。

なお星形でない、普通の正多角形についても、分母を1だと考えれば、一筆書きで描けばすべての正多角形は1周することと一致します。

お礼

ご教示を熟読玩味させていただきます。nが3以上の多角形のカドと2＜n＜３の星型のトゲあるいはツノを統一すると三角形と四角形はカドでもありトゲでもあるのかなと思います。また３＜nでnが整数でなくても図形が描けますね。また
０＜n＜２の場合には巻き方が反対になるのかなと思いました。さらにnが負数の場合ご教示の操作がどのようなものに相当するのか考えてみたいと思いました。昔習った双曲線のグラフでも不思議なことがたくさん出てきて驚きます。

回答No.3

staratras

No.2です。なお、正ｎ角形に内接しない（整った形でない）、頂点を結ぶと不等辺ｎ角形になる「歪んだ星形」でも、星形のｎ個の頂点の角の和は180度です。下の図は一般の7角形の場合について、7個の頂点の角の和が180度になる説明です。「三角形の外角は内対角の和に等しい」という定理を使えば、頂点1,2,3,4,5,6,7の和が黄色の三角形の内角の和になることがわかります。

回答No.2

staratras

「いわゆる星型」を下の図のような、正ｎ角形(ｎは奇数）の各頂点を、間に（ｎ-3)/2個の頂点があるように結んでできる図形だと考えると、各星型の頂点の角は（180/ｎ）度になります。

理由は以下の通りです。正多角形なのですべての頂点を通る円(外接円）が一つだけ存在します。この円の中心と正ｎ角形の頂点（＝星形の頂点）を結ぶと、正ｎ角形は底辺が正多角形の1辺、等辺が外接円の半径である合同なｎ個の二等辺三角形に分割されます。

星形の頂角はこの二等辺三角形の底辺を通る円弧に対する円周角であり。二等辺三角形の頂角はこの円周角の中心角です。ｎ個の二等辺三角形の頂角の和は360度だから、星形のｎ個の頂角の和はその半分の180度です。星形の頂角はみな等しいので、一つの頂角は（180/ｎ）度です。

ご指摘の通り、星形の頂点の数が増えるほど、頂角は小さくなり、先がとがった星型になります。

お礼

正n角形の内角の公式((nー2)/n))πで2<n<3の適当な値でいわゆる星形の図形ができますが、当然ながらnは整数でないと思います。この図形はいわゆる星形の一部でしかないということでしょうか。

回答No.1

178-tall

参考 URL を開き、「表」の「5 星型のひみつ」をクリックして、「(5) 星形の角の和の求め方」をご覧あれ。
　　↓　参考 UR

参考URL：

http://www.chikyo.co.jp/m/practice02.html

お礼

正n角形も星形の一部だったのですね。助かりました。まだわからないことがたくさんなりますが、自分なりに調べてみます。正n角形の公式で星形の内角が計算出来ることもその一つです。この場合nは2＜n＜３で整数にならないのでおかしいのかなと思っています。