正射影について。

質問

以下のURLの続きです。
https://okwave.jp/qa/q9753034.html
次のような図を考えれば全て納得できるのですが、あっていますでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.41

muturajcp · ベストアンサー

辺ABが(αβの交線に)垂直な時は、辺ABがcosθ倍だけ縮んだものが,辺A'B'となる

正射影前後で不変なものは、(αβの交線に)平行な成分となる
辺ABが(αβの交線に)垂直な時は、
(底辺をABとした時の)△ABCの高さ(a√3/2)
↑BCのαβの交線に平行な成分(a√3/2)
↑ACのαβの交線に平行な成分(a√3/2)
はいずれも同じものである
が不変

ABが交線に平行と仮定すると

ABの交線に平行な成分は a
ABの交線に垂直な成分は 0
だから
A'B'の交線に平行な成分は a
A'B'の交線に垂直な成分は 0
だから
|A'B'|=|AB|=a
↓|A'B'|=1だから
a=1

AC,CBの交線に平行な成分は1/2
CA,CBの交線に垂直な成分は√3/2
だから
A'C',C'B'の交線に平行な成分は1/2
C'A',C'B'の交線に垂直な成分は(√3/2)cosθ
だから
|A'C'|=|C'B'|=(1/2)√{1+3(cosθ)^2}
↓|B'C'|=|C'A'|=2だから
(1/2)√{1+3(cosθ)^2}=2
√{1+3(cosθ)^2}=4
1+3(cosθ)^2=16
3(cosθ)^2=15
1>(cosθ)^2=5>1となって矛盾するから
∴
ABは交線に平行でない

回答No.30

musume12

>なぜ、3辺の長さが違うのでしょうか？
　説明してもムダだと思うので画像だけ貼っておく。

回答No.29

178-tall

>ANo.23 をご覧。
「30 度回転」での各辺の増減を表にしてみたら…？

　　　　初期　　途中　　終点
　　　　----　　----　　----
底辺　　最長　　 ↓
　　　　　　　　　　　　 || 等辺
右辺　　　　　　 ↑
　　　　|| 等辺
左辺　　　　　　 ↓　　 最短

回答No.28

178-tall

>なぜ、3辺の長さが違うのでしょうか？

ANo.23 をご覧。

回答No.27

178-tall

ANo.26 の続き。

>辺ABが、平行でも垂直でもない場合どうなるのでしょうか？
　　↓
>(θ≠0 なら) 平面βへの正射影にて、3 辺の長さがすべて異なる。

平面βへの正射影が二等辺三角形になるのは、平面αの正三角形の一辺が交線 I に平行か垂直の場合のみ。

問題 139 の平面βの二等辺三角形は、底辺 よりも二等辺のほうが長い。平面αの正三角形の一辺が交線 I に垂直の場合でないと、そうならない。

… と前進可能。

補足

なぜ、3辺の長さが違うのでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.26

178-tall

>辺ABが、平行でも垂直でもない場合どうなるのでしょうか？

(θ≠0 なら) 平面βへの正射影にて、3 辺の長さがすべて異なる。

回答No.25

muturajcp

musume 12 さんの図は
この問題の条件
|A'B'|=1
|B'C'|=2
|C'A'|=2
ではなく
条件を
|A'B'|>|B'C'|
|A'B'|>|C'A'|
に変えた別の問題の図なのです

あなたは
平面βへの正射影が
|A'B'|=1
|B'C'|=2
|C'A'|=2
の二等辺三角形となるためには、
平面αの正三角形は
辺 AB が必ず交線 L に対し垂直になることが
理解できていないのだから
musume 12 さんの図は
読む必要はありません

交角θで交わる2つの平面αとβがある.
平面α上にある
1辺の長さ
aの正3角形
ABCの平面βへの正射影は,
Aの正射影をA'
Bの正射影をB'
Cの正射影をC'
とすると
|A'B'|=1
|B'C'|=2
|C'A'|=2
の2等辺3角形
A'B'C'となった
このとき

ABCは正3角形だから
|BC|=|CA|=a
|BC|と|CA|は等しい

|B'C'|=2=|C'A'|
BCとCAの正射影も等しいから
BCとCAの水平距離も等しい

|BCの高低差|^2+|B'C'|^2=|BC|^2=a^2
|CAの高低差|^2+|C'A'|^2=|CA|^2=a^2
だから
BCの高低差とCAの高低差も等しい

右図のように
ABがαβの交線に平行でも垂直でもないような場合
BCの高低差とCAの高低差が等しくないから
BCとCAの水平距離も等しくないから
|B'C'|=2=|C'A'|
とならないから
ABがαβの交線に平行でも垂直でもないような場合は間違いなのです

(|AA'|-|BB'|)^2+|A'B'|^2=|AB|^2
↓|A'B'|=1,|AB|=aだから
(|AA'|-|BB'|)^2+1=a^2

||AA'|-|BB'||=√(a^2-1)

(|CC'|-|BB'|)^2+|B'C'|^2=|BC|^2
↓|B'C'|=2,|BC|=aだから
(|CC'|-|BB'|)^2+4=a^2

||CC'|-|BB'||=√(a^2-4)<√(a^2-1)

(|AA'|-|CC'|)^2+|C'A'|^2=|CA|^2
↓|C'A'|=2,|CA|=aだから
(|AA'|-|CC'|)^2+4=a^2

||AA'|-|CC'||=√(a^2-4)<√(a^2-1)

|BB'|<|CC'|<|AA'|の時

|AA'|-|BB'|=√(a^2-1)
|CC'|-|BB'|=√(a^2-4)
|AA'|-|CC'|=√(a^2-4)
だから

2√(a^2-4)=√(a^2-1)
4(a^2-4)=a^2-1
4a^2-16=a^2-1
3a^2-15=0
a^2-5=0
a^2=5
∴
a=√5
∴
cosθ=1/√5

回答No.24

muturajcp

交角θで交わる2つの平面αとβがある.
平面α上にある
1辺の長さ
aの正3角形
ABCの平面βへの正射影は,
Aの正射影をA'
Bの正射影をB'
Cの正射影をC'
とすると
|A'B'|=1
|B'C'|=2
|C'A'|=2
の2等辺3角形
A'B'C'となった
このとき

ABCは正3角形だから
|BC|=|CA|=a
|BC|と|CA|は等しい

|B'C'|=2=|C'A'|
BCとCAの正射影も等しいから
BCとCAの水平距離も等しいから
BCの高低差とCAの高低差も等しい

左図のように
ABがαβの交線に平行でも垂直でもないような場合
BCの高低差とCAの高低差が等しくないから
BCとCAの水平距離も等しくないから
|B'C'|=2=|C'A'|
とならないから
ABがαβの交線に平行でも垂直でもないような場合は間違いなのです

(|AA'|-|BB'|)^2+|A'B'|^2=|AB|^2
↓|A'B'|=1,|AB|=aだから
(|AA'|-|BB'|)^2+1=a^2

||AA'|-|BB'||=√(a^2-1)

(|CC'|-|BB'|)^2+|B'C'|^2=|BC|^2
↓|B'C'|=2,|BC|=aだから
(|CC'|-|BB'|)^2+4=a^2

||CC'|-|BB'||=√(a^2-4)<√(a^2-1)

(|AA'|-|CC'|)^2+|C'A'|^2=|CA|^2
↓|C'A'|=2,|CA|=aだから
(|AA'|-|CC'|)^2+4=a^2

||AA'|-|CC'||=√(a^2-4)<√(a^2-1)

|BB'|<|CC'|<|AA'|の時

|AA'|-|BB'|=√(a^2-1)
|CC'|-|BB'|=√(a^2-4)
|AA'|-|CC'|=√(a^2-4)
だから

2√(a^2-4)=√(a^2-1)
4(a^2-4)=a^2-1
4a^2-16=a^2-1
3a^2-15=0
a^2-5=0
a^2=5
∴
a=√5
∴
cosθ=1/√5

補足

では、musume 12 さんの図はどういうことなのでしょうか？3パターンの図です。θ＝30、60、80の時です。教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.23

178-tall

>辺ABが、平行でも垂直でもない場合どうなるのでしょうか？
　　↑
これを調べる手数をサボるのが 30 度回転に分割する手。
A. B, C 表示だと要らざる注意深さが欠かせない。「底辺」,「左右 - 辺対」記法にしてみる。

底辺が交線 I に平行な正三角形からスタート。
これを 30 度反時計周りに回転すると、左辺は垂直になり、平面βへの正射影が最短になる。
また回転中に、底辺が減少、右辺が増大。結果は「二等辺三角形」。
回転後の平面βへの正射影では、底辺＝右辺 (旧名) になつている。

… という経過からみて、回転の途中で平面βへの正射影が「二等辺三角形」になることはあり得ない。

回答No.22

178-tall

>辺ABが、平行でも垂直でもない場合どうなるのでしょうか？
　　↑
これを調べる手数をサボるのが 30 度回転に分割する手。
A. B, C 表示だと要らざる注意深さが欠かせない。
「底辺」,「左右 - 辺対」記法にしてみる。

底辺が交線 I に平行な正三角形からスタート。
これを 30 度反時計周りに回転すると、左辺は垂直になり、平面βへの正射影が最短になる。
また回転中に、底辺が減少、右辺が増大。
結果は「二等辺三角形」。
回転後の平面βへの正射影では、底辺＝右辺 (旧名) になつている。

… という経過からみて、回転の途中で平面βへの正射影が「二等辺三角形」になることはあり得ない。

回答No.21

178-tall

>正しい図を教えていただけないでしょうか？

そもそも、添付図がどういう「意味」をもつのか、不明。

補足

musume 12 様の単調増加に話がないのですが。教えていただけないでしょうか？単調増加という言葉がとても気になります。すみません。