変数分離型の微分方程式

質問

y' = ky
のような簡単なタイプであれば
　　log|y| = kx + C
　　|y| = e^(kx+C) = e^C*e^(kx)
　　y = ±e^C*e^(kx) = Ae^(kx)
のように|y|の絶対値を外すのは簡単なのですが以下のような例ではどうしたらいいのでしょう。

　　y' = a^2 - y^2
は
　　∫1/(a+y) + 1/(a-y) dy = 2a∫dx
とすれば解けるので
　　log|a+y| - log|a-y|
= log( |a+y|/|a-y| ) = 2a(x+C).
　　|a+y|/|a-y| = e^( 2a(x+C) ).
　　|a+y| = |a-y|e^( 2a(x+C) ).
　ここから絶対値を外して最終的に
　　y = ・・・・
としたいのです？
　単純に
　　(a+y)/(a-y) = e^( 2a(x+C) ).
で変形したら、最終的には
　　y = a*tanh( a(x+C) )
なります。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

(a+y)/(a-y)=A*e^(2ax), ですからこれから、
y=a*{A*e^(2ax) - 1}/{A*e^(2ax)+1}
=a*{A*e^(ax) - e^(-ax)}/{A*e^(ax)+e^(-ax)}.
となりさらにここで、A=e^(2c) とおくと、
y=a*tanh(ax+c).
と書くこともできます。(A>0のとき)

お礼

丁寧な回答、まことにありがとうございました。