固有値問題における出現する固有値の特定

質問

１次元の微分方程式で境界条件（両端でゼロ）と基礎式を満足する解が例えば、正弦波(sin(kx))だったとします。絵を描いてもわかるように両端でゼロとなる正弦波は波長(kの逆数に比例なのでkを決めることと同じ)を決めることができません。sin(kx)のkを決めることができないということになります。物理現象として出現するkを決めることができるというのが固有値問題の解なのだと思います(?)が、どのようにして決めるのでしょうか。例えばa(k)sin(kx)のように振幅aがkの関数であるとして一番振幅が大きいものが出現されるというようなことなのでしょうか。あるいは一番波長が長い場合のkが出現するとかです。それは式を解いているのではなく、そう予測しているというだけなのでしょうか。式と境界条件を満たす解がパラメータとしていくらでも可能という状態での解を示すパラメータの選択という問題ですが。よろしくお願いします。

回答No.2

masudaya

多分それは状況によると思います．例えばピンと張った弦の場合,ゆびではじくと
通常は基本波が一番大きく,高調波になるごとに振幅が小さくなっていくのが一般的です．
ただし,高調波が全くないというのはあまり有り得ません．
(波長が一番長い物を基本波,以降はこの1/nなので周波数的には基本波の整数倍なので高調波という)
一般的には,前の回答に書いたとおり基本波と高調波の和として関数を求めて,
境界条件など各種の条件や方程式に代襲して,各周波数での振幅を求めるのが普通の方法になります．
棒を押してぐにゃっと曲がるといわれても,方程式や境界条件などがないと求まりません．
よろしくお願いいたします．

回答No.1

masudaya

ご質問の意図がよく分かりませんが,
基本解がsin(kx)として,x=0,x=lでf(x)=0とした場合,
k=n2π/lとなります．(n=±1,±2．．．)
波長をλとすると
k=2π/λ なので
λ=l/|ｎ|となります．
つまり,境界条件によって,kは連続ではなく,離散化されることになります．

一般には,ここで求めたkを用いて
f(x)=Σan・sin(2nπ/l)
を作って考えることになると思います．
量子力学だと,単純には|an|^2の大きな物が観測されやすくなるというイメージでしょうか．

お礼

回答ありがとうございます。境界条件を満たすKが離散的ですがいくつも出てくることになりますね。つまり解として可能性があるものがいっぱいあるということです。この中で、どのような解が選択されるのかという問題は残ります。ご回答は振幅aが大きい解になるということですね。このシステム（式と境界条件）に数多くの離散的なKに対して対応した振幅a(k)を決める方法が含まれていることになるでしょうか。棒を圧縮してどこかでグニャリと曲がる（座屈）するときの振幅ですが、棒の体積の保存とかそういう制約でしょうか。