このグラフ、描けますか？

質問

ふと思い立って「２ｎ人がグーパーで二つのグループに分かれるとき、一発で半々になる確率」を求めてみました。
(2nＣn)/(2^2n)となったので、コレを使って確率のグラフを描いてみたいと思ったのですが…
組み合わせのグラフって、書き方があるんでしょうか。
ｎの値を一つずつ代入していく以外の方法で…
誰かご存じでしたら、教えて下さい。

回答No.3

shroeder

簡単のために問題の確率を c_nとしましょう。
この値をプロットしても、あまり面白いことはないと思います。

突然ですが，時刻t=0に、原点x=0にいる点を考えて下さい。
t=1では、確率1/2ずつで、x=1かx=-1に移動するとします。
t=2では、やはり確率1/2でt=1の位置から+1かまたは-1移動するとします。
これを続けると、時刻t=2nに原点x=0にいる確率がc_nになります
（2n回の移動のうち、丁度n回が右、残りのn回が左の場合です）
これはランダム・ウォークと呼ばれるものでもっとも基本的な
ものです。

点はどんどん拡散していくので、直観的に
n→∞のときc_n→0となるのは明らかでしょう。

問題はc_nがどのくらいの速さで0に近づくかということですが、
これはn^{-1/2}（の定数倍）程度になります。
だからグラフはxが大きいところでは x^{-1/2}に似たものになる筈です
（つまり双曲線1/xよりゆっくり減少して0に近づきます）。

じつはこの定数のところが面白いので、
lim c_n/n{-1/2}=π{-1/2}
となります。これはウォリスの公式と呼ばれるものです（通常π=...
の形で書かれていますが。John Wallis 1616-1703）

さらに一般にして、点が時刻t=2nにx=2mにいる確率は
2{-2n}*{2n}C_{n+m}
ですが、ここでnを止めて、mの関数とみてグラフを書くと原点に山が
あって左右になだらかに広がったようなものになります。最初のc_nは
このときの頂上の高さです。
このままnを大きくすると、ずっとひろがっていって山がつぶれて平坦に
なります（丁度、もり塩がひろがっていくような感じでしょうか）

このつぶれる速さとでもいうものが、n{-1/2}ですから、このグラフを
n{1/2}倍y軸方向に拡大して、さらにx軸方向にはn{-1/2}倍にして
nを限りなく大きくすれば、極限として形のある山を取り出すことが
できます。ウォリスの公式はこの山に高さを表しています。

この極限のグラフは、y=e^{-x^2} を少し拡大縮小したものです。
これが、統計ででてくる標準分布（偏差値のもと）で、これまでのべたことは
{+1,-1}を各1/2で起こす試行を何度も繰り返していくと、それが
標準分布に近づくということです。これは中心極限定理の非常に特別な
場合で、この特別なものはラプラス・ドモアブルの定理と呼ばれることも
あります。

時刻nに点がx=mにいる確率をp(n,m)と書くことにすると
p(n+1,m)=(1/2){p(n,m+1)+p(n,m-1)}
という漸化式が成立することがすぐにわかります。
ここで両辺からp(n,m)を引くと
p(n+1,m)-p(n,m)=(1/2){p(n,m+1)-2p(n,m)+p(n,m-1)}
となります。時間と距離のきざみを変化させるために、単位時間を
Δt、距離の単位をΔxとして、さらに t=nΔt、x=mΔxとすれば
p(t+Δt,x)-p(t,x)=(1/2){p(t,x+Δx)-2p(t,x)+p(t,x-Δx)}
となります。ここでΔt=(Δx)^2という関係をおいて、両辺を
Δtで割ります。そしてΔt→0とすれば

∂p/∂t=(1/2)∂^2p/∂x^2

となります。（右辺が２階の微分に収束するのはテイラー展開をして
みれば分かります）。これは熱方程式とか拡散方程式とか呼ばれる
偏微分方程式で、物質や熱が拡散していく様子を記述するもっとも
基本的な方程式です。つまりランダム・ウォークではとびとびの
時刻（ディスクリートな時刻）で左右に拡散していく粒子の位置を考えて
いるのですが、それを連続的な時間について考えるとディスクリートな
場合の極限として熱方程式が現れます。

回答No.2

rei00

ikeshi さんがマックをお使いなら，アップルメニュ－にある「グラフ計算機」で簡単に見れます。

「y = 」と出ていますので，この後ろを「(2x)!/x!x!2^2x」と入力し，下にある「グラフ」を押して下さい。

もし，ウィンドウズなら・・・・。すみません，わかりません。同じ様なソフトは無いでしょうか。

あるいは，「Vector」（参考 URL）の「Soft ライブラリ」を，「一覧」→「（ビジネスの中にある）計算・表計算・グラフ 」とたどった所に，「グラフ作成(82)NEW　2次元グラフプロット GammaPlot/ 簡易デ－タ解析 グラフ描画 Ngraph/ 」とあります。この辺に類似のソフトは無いでしょうか。

参考URL：

http://www.vector.co.jp/vpack/filearea/win/business/calc/index.html

回答No.1

taropoo

Excelで書けます。見せてあげたいのですがここではそうもいかないので言葉で。

初期値(n=1)は0.5です。それくらい分かりますね。その後
0.5
0.375
0.3125
0.2734375
0.24609375
0.225585938
0.209472656
0.196380615
0.185470581
0.176197052
0.168188095
0.161180258
と続きます。0.1を割るのはn=32の時。n→∞で確率→0となるのは感覚的にもわかりますよね。

グラフの見た目としてはなべ底の半分と言った所でしょうか。

式自体はこれ以上簡単にはなりそうもないので手で書くには限界があるでしょう。
やはりグラフが見たければパソコンに頼るほかないと思います。