環の中の演算

質問

整数では足し算と掛算があります。
環にも和と積がありますが、積を和よりも先にする、というのは、分配法則で言えているのでしょうか？

回答No.7

tmpname · ベストアンサー

「記法」の問題と、環の演算の定義の問題をごっちゃにしている。

環Z上の加法f, 乗法 gも、あくまで 両方共何らかの Z×ZからZの写像です。まずこの事を理解しないといけない。
f も gもあくまで写像であるから、一般的な写像の合成の規則に従う。それだけのことです。

+ とか * とか書いているのが混乱の元なら、一度加法をf, 乗法をgとおいて、環の公理をすべて明示的に書き直してみるとよいです。

5×3-2 を (5 * 3 ) + (-2) と「解釈」、つまり f(g(5,3), -2)のことと解釈するのは、あくまで「記法上の約束事」です。環の演算の定義とは本質的に関係ありません。例えばポーランド記法を使えば f(g(5,3), -2)は + * 5 3 (-2) みたいな感じになります。

べつに、記法上 5×3-2は 5× (3-2)の事、つまり「『記法上』加法は乗法に優先する」、としても問題ありません。あるいは電卓みたいに「『記法上』は左から必ず計算する」とかしても問題ない。なぜなら括弧があればいくらでも演算順序を変更出来るからです。その場合、結合則は括弧をつかって、明示的に a*(b+c) = (a*b) + (a*c) と書けば何の問題もありません。
ただ、「『記法上』加法は乗法に優先する」とすると、記法上括弧を書く回数が増えてしまうので、括弧を減らすためにそうしてないだけです。

お礼

詳しい回答有難うございます。

やはり、掛算を足し算より先にするのは暗黙の了解、ということですね。
全ての数学の理論、解析でも代数でも、暗黙の了解事項の上に載っている、と思うとなんあ怖いですね。

回答No.8

tmpname

> 掛算を足し算より先にするのは暗黙の了解

だから、それは単なる「記法」の問題、つまりかけ算の「記号」は足し算の「記号」に優先する、というのは記法の問題、つまり「文法」の問題で、掛算という演算と足し算という演算との間に本質的には優先度の上下はない、と言っていることはいいですか？

もう一回言いますが、単なる「記法」の問題と、環の演算の定義の問題をごっちゃにしない事。

回答No.6

178-tall

>暗黙の了解でしょうか？

「素人」なので判りませんけど、余計な「忖度」を強いる記述がけっこうありましたので…。

回答No.5

muturajcp

集合の演算では
A∪B=(AとBの合併集合)
と
A∩B=(AとBの共通部分)
があります
分配法則(∩を∪に分配する)
(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)=(C∩A)∪(C∩B)=C∩(A∪B)

分配法則(∪を∩に分配する)
(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)=(C∪A)∩(C∪B)=C∪(A∩B)

両方成り立つので
∩を∪よりも先にする、というのは
分配法則では言えません

お礼

回答有難うございます。

やはり、0元を持つ演算より、単位元を持つ演算を先にする、ということは環の性質からは言えないのでしょうか？

回答No.4

tmpname

もうちょっときちんと書いたほうがいい気がするので：

質問の通り、環Rには、和f: R×R→R、積g:R×R→Rという2つの演算（写像）が定義されていますが、別にこの2つの演算（写像）について、「どちらが先」とか「どちらが後」とかいうようなものが定義されている訳ではありません。
で、書いた通り、分配則というのは、
g(a, f(b,c)) = f( g(a,b), g(a,c)) g(f(b,c),a) = f(g(b,a), g(c,a)) (★)が成り立つ、ということです。

で、問題は a (b+c)という式を見た、つまりそういう「表記をした」時に、これは a*(b+c)、つまり g(a, f(b,c))のことだと「解釈する」というだけの問題で、これはあくまで表記上の約束ごとでしかありません。分配則というのは、あくまで上で書いた (★)が成り立つ、ということで、表記の解釈の問題とは本質的に無関係です。

補足

回答有難うございます。

それでは、0元を持つ演算より、単位元を持つ演算を先にする、このことが環の性質から言えないでしょうか？

回答No.3

178-tall

ちゃんと記している例もある。
　 Left and right distributivity: For all a,b,c in S, a*(b+c)=(a*b)+(a*c) and (b+c)*a=(b*a)+(c*a)

回答No.2

178-tall

>整数では足し算と掛算があります。
>環にも和と積がありますが、積を和よりも先にする、というのは、分配法則で言えているのでしょうか？

「分配法則」の記事などを眺めると、
　a・(b+c) = a・b + a・c
とある。

右辺を文字記入順に演算する
　(a・b + a)・c
… とは思えないから、「積を和よりも先にする」という暗黙の了解があるらしいですネ。

お礼

回答有難うございます。

暗黙の了解でしょうか？

回答No.1

tmpname

良く分からないが、
環Rの「和」f: R×R→R、「積」g:R×R→Rに対し、
g(a, f(b,c)) = f( g(a,b), g(a,c)) g(f(b,c),a) = f(g(b,a), g(c,a))
が成り立つというのが分配則です。

これを略記して、括弧を敢えて分かり易くつけると
a*(b+c) = (a*b) + (a*c), (b+c) * a = (b*a) + (c*a)
となります。で、どの辺を疑問に思っているのかが良く分からない。

補足

回答有難うございます。

5×3-2　は、　15-2＝13　ですが、　5×（3-2）＝5×1　は間違いです。

0元を持つ演算より、単位元を持つ演算を先にする、このことが環の性質から言えないでしょうか？