(1)の問題がわからない

質問

(1)の問題がわからないです。
まず、赤線を引いた回答の意味の違いがわからないです。問題文の「初めて６が出るまでに６以外が出た回数」と「初めてY回目に６が出る」の違いがよくわかりませんでした。
紫色の線で引いたところもよくわかりませんでした。なぜ分母分子に確率が来るのでしょうか？

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

サイコロを何回も投げる.
初めて6が出るまでに6以外が出た回数をX,
また,初めてY回目に6が出たとすると
Y=X+1
だから
X=k→Y=k+1
Y=k→X=k-1
となる

P(X=k)
初めて6が出るまでに6以外がk回出た確率だから
6以外が出る確率は
(5/6)
でそれがk回出たというのだから
6以外がk回出る確率は
(5/6)^k
でその次に初めて6が出る確率は
1/6
だから
6以外がk回出てから初めて6が出る確率は
{(5/6)^k}(1/6)=(1/6)(5/6)^k
(k=0,1,2,…)
となる

P(Y=k)
初めてk回目に6が出る確率だから
初めてk回目に6が出るまでに
6以外がk-1回出た確率だから
P(Y=k)=P(X=k-1)=(1/6)(5/6)^{k-1}
だから
P(Y=k)=(1/6)(5/6)^{k-1}
(k=1,2,…)

|x|<1の時初項1公比xの等比無限級数は
1/(1-x)=Σ_{k=0～∞}x^k
↓両辺をxで微分すると
1/(1-x)^2=Σ_{k=1～∞}kx^(k-1)
↓両辺をxで微分すると
2/(1-x)^3=Σ_{k=1～∞}(k+1)kx^(k-1)
2/(1-x)^3=Σ_{k=1～∞}(k^2)x^(k-1)+Σ_{k=1～∞}kx^(k-1)
↓1/(1-x)^2=Σ_{k=1～∞}kx^(k-1)だから
2/(1-x)^3=Σ_{k=1～∞}(k^2)x^(k-1)+1/(1-x)^2
↓両辺から1/(1-x)^2を引くと
2/(1-x)^3-1/(1-x)^2=Σ_{k=1～∞}(k^2)x^(k-1)
{2-(1-x)}/(1-x)^3=Σ_{k=1～∞}(k^2)x^(k-1)
(1+x)/(1-x)^3=Σ_{k=1～∞}(k^2)x^(k-1)

E(X)
=Σ_{k=0～∞}kP(X=k)
=Σ_{k=1～∞}k(1/6)(5/6)^k
=(1/6)(5/6)Σ_{k=1～∞}k(5/6)^(k-1)
↓1/(1-5/6)^2=Σ_{k=1～∞}k(5/6)^(k-1)だから
=(1/6)(5/6){1/(1-5/6)^2}
=(1/6)(5/6)/(1/6)^2
=(5/6)/(1/6)
=5

E(Y)
=Σ_{k=1～∞}kP(Y=k)
=Σ_{k=1～∞}k(1/6)(5/6)^(k-1)
=(1/6)Σ_{k=1～∞}k(5/6)^(k-1)
↓1/(1-5/6)^2=Σ_{k=1～∞}k(5/6)^(k-1)だから
=(1/6){1/(1-5/6)^2}
=(1/6)/(1/6)^2
=1/(1/6)
=6

V(X)
=E(X^2)-{E(X)}^2
=Σ_{k=0～∞}(k^2)P(X=k) -25
=Σ_{k=1～∞}(k^2)(1/6)(5/6)^k -25
=(1/6)(5/6)Σ_{k=1～∞}(k^2)(5/6)^(k-1) -25
↓(1+5/6)/(1-5/6)^3=Σ_{k=1～∞}(k^2)(5/6)^(k-1)
=(1/6)(5/6)(1+5/6)/(1-5/6)^3 -25
=(1/6)(5/6)(11/6)/(1/6)^3 -25
=(5/6)(11/6)/(1/6)^2 -25
=55-25
=30

V(Y)
=V(X+1)
=E{(X+1)^2}-{E(X+1)}^2
=E(X^2+2X+1)-{E(X)+1}^2
=E(X^2)+2E(X)+1-{E(X)}^2-2E(X)-1
=E(X^2)-{E(X)}^2
=V(X)
=30