多項式のバラツキ成分分析方法について

質問

現在実験での計測値から算出される"A"という項目の値のバラツキが大きく、そのAのバラツキを小さくしたく要因分析をおこなっています。

項目Aの算出方法は、
　A=B-C-D
　B,C,D:実験での計測値
という関係式で与えられます。
Aのバラツキ：σa
Bのバラツキ：σb
Cのバラツキ：σc
Dのバラツキ：σd
とした時、
σaをσb、σc、σdで表すことはできるのでしょうか？

私の考えでは、
A±σa＝(B±σb)-(C±σc)-(D±σd)
となるので、
σa＝√（σb^2-σc^2-σd^2）
となると思うのですが、この式ではσc、σdが大きくなるほどσaが小さくなり、事実とつじつま合いません。

単純に下記のように平方二乗和で求めたほうがよいのでしょうか？
σa＝√（σb^2+σc^2+σd^2）

σaがσb、σc、σdの式で表すことができれば、B、Ｃ、Ｄのどの項のバラツキが大きいかが分かり、σaを小さくする小さくするための対策が検討できるのですが・・・

類似の問題を経験されたことのある方、バラツキ計算方法の知識を有する方、
ご教授お願いします。

回答No.2

noname#230359

統計学に淡々と則って考えると，z = a・x1 + b・x2 + c・x3 とした場合の分散V(z)は，以下のように表されます。

　V(z) = a^2・V(x1) + b^2・V(x2) + c^2・V(x3)

これより，A = B - C - D の分散は，

　V(A) = 1^2・V(B) + (-1)^2・V(C) + (-1)^2・V(D)
= V(B) + V(C) + V(D)
=σb^2 + σc^2 + σd^2

ゆえに，Aの標準偏差σaは，

　σa = √(σb^2 + σc^2 + σd^2)

になります。

お礼

回答ありがとうございます。
理論式で説明頂いたので、納得です。
説明頂いた式は、分散の加法性というものでしょうか？
（詳しいことは分かりませんが・・・）
もし、参考URLがあれば、お教え願います。

回答No.1

noname#230359

B,C,Dのデータに相関がなければ、
σa＝√（σb^2+σc^2+σd^2）を使って求めればいいと思います。

とはいうものの、　A=B-C-D　という引き算の形の式を使って項目Aを
求めようとしているということは、Bに対して(C+D)が相関があり、
その差分に意味があるからのことと思います。

まずはBとC、BとD、Bと(C+D)、CとDなどの相関を評価してみること
からスタートしては如何でしょうか。

例えば、表計算で散布図形式でグラフにデータをプロットして、線形近似式
を追加し。オプションでR^2の値を表示させれば、概略の相関を把握できる
でしょう。

データについて、完全な相関がある成分と、無相関な成分に分けることが
できれば、相関がある成分は引き算によって打ち消されてAに対してバラツ
キを発生させる作用はなく、無相関な成分について二乗和の平方根で求め
れば良さそうに思えます。

完全な相関がある成分と、無相関な成分に分けることができるかどうかが
ポイントになりそうです。このあたりについて、経験なさった方のアドバ
イスがあると助かります。　

Aのバラツキを小さくしたいということが目的ですから、
Bと(C+D)の相関を上げていくことが必須条件です。

データ解析で課題が見えてきたら、データ処理に頼るよりも
測定系においてBと(C+D)の相関をよくする改善を図ることが効果が
あると思います。

簡単な例を作ってみました。
σa＝23.2
√（σb^2＋σc^2＋σd^2）＝37.4　
B～Dの値に意識的に相関を持たせた結果です。
σaは二乗和の平方では求まらないという例としてみてください。

A B C D
------------------------------------
0.0 28.6 26.9 1.7
7.0 32.3 19.8 5.5
14.0 41.6 17.3 10.3
21.0 57.3 19.8 16.5
28.0 66.3 17.1 21.3
35.0 73.0 12.4 25.6
42.0 80.7 8.5 30.1
49.0 90.3 6.3 35.1
56.0 108.2 10.6 41.6
63.0 111.8 3.4 45.4
70.0 125.3 4.2 51.1
--------------------------------------
σ 23.2 32.8 7.5 16.5

お礼

ご返答ありがとうございます。
1点質問させてください。

＞データについて、完全な相関がある成分と、無相関な成分に分けることが
できれば、相関がある成分は引き算によって打ち消されてAに対してバラツ
キを発生させる作用はなく、無相関な成分について二乗和の平方根で求め
れば良さそうに思えます。

”相関がある成分は引き算によって打ち消されて”とはどういったことでしょうか？
相関がない（独立な）成分については、二乗和平方で求めることができるのは
わかりますが・・・

回答ありがとうございます。
実例を頂き、非常にわかりやすかったです。

補足

こんな場合はどう考えたらよいのでしょうか？

A±σa=(B±σb)×(C±σc)のとき
σa=σb×σcにはなりません。

よろしければ、アドバイスお願いします。