摩擦を考慮したたわみ計算

質問

平板上に置いた角棒(50×50×1000)の一端を固定し、反対側の端部をAという力で横方向に押したときの先端と中間のたわみ量を知りたいのですが、摩擦係数μ=0.2、比重7.8、ヤング率206GPaを考慮した計算方法を教えてください。

言葉足らずで申し訳ありません。上から見た絵です。角棒は床に接触しており摩擦係数μ=0.2、比重7.8、ヤング率206GPaです。

　固　|　　　　　　　下は床
　　　|____________________________________
|______________角________棒__________]
　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　定　|　　　　　　　下は床　　　　　　　　　↓A(kg)という力で引張る

回答No.5

noname#230359

力学に関してはまったくの素人のため、この式を理解することは非常に難しいです。よろしければ具体的に数字の代入方法と計算結果を教えていただけますか？

＞以下参照してご自分で計算下さい。積分は高校で習ったレベルですし、材料力学の本を見れば計算例は沢山あります。人の計算結果を鵜呑みにして設計してあなたは担当製品の品質が保障できますか？他人に仕事を丸投げする姿勢を直し、自分で考える努力をして下さい。アドバイスは出来る範囲でします。

m*g：比重、体積から求めて下さい。
A:断面積
I:断面二次モーメント
y''=d2y/dx2:yをxで2回微分したものです。

回答No.4

noname#230359

判り易い図ですね。

#3の方も回答されていますが、基本的には摩擦力は考慮しなくてもいいと思います。理由は曲げ方向が壁と完全に水平でないとか、部品取り付け角度が傾いているとかのであれば、そちらの影響の方が大です。仮に理想状態で取り付、荷重をかけた場合も下記の様な計算が必要であり、角Rや表面あらさで食い込みが発生したら、摩擦力より大きな力が出て計算できません。従って、壁とはりとの間に公差計算上十分な隙間を設定する方が、よりロバスト設計かと思います。

参考に断面幅方向の変形後の張り出し量を求めると、

仮に理想取り付け角度、荷重方向である場合で下図断面に座標設定しした場合(x軸は固定端→先端）曲げにより中立面ｙの下側は圧縮過重になりポアソン効果で外側に張り出します(逆に上側は引っ張りなのでz軸方向に縮む）。その最大歪εyは、z軸方向に平面応力として、根元下側の圧縮部の下面で、
　　________
| |
y___|___ x |
| | |
|___|___|
z

εy=(σy-ν*σx)/E
ここでσy=0ですから、
εy=(-ν*σx)/E---------?
σx=Mmax/Z----------?
εy=(w'-w)/w-------?
ここでwは変形前,w'は変形後の幅。
(w'-w)=w*εy---------?’
?’上式より根元部下側の幅方向への張り出し量が求められます。
計算してありませんがこの量は弾性範囲内では微小です。

もっと厳密にやると、x方向の微小範囲で張り出し量を求め、その張り出し量が壁により0となる場合の応力を求め接触面積をかけて力にし、それにμをかけて長手方向に積分するという流れになり気が遠くなります。隙間を十分に取る設定にするのが得策かと思います。

検討下さい。

角棒が床に接触しているというのを見落としていました。

すでに回答したポアソンン効果を無視した場合です。

固　|　　　　　　　等分布荷重；m*g*μ/L
　　　|_↑___↑___↑___↑__↑__↑__↑__↑__↑
|______________角________棒__________]
　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　定　|　　　　　　　下は床　　　　　　　　↓A(kg)という力で引張る

x軸原点を固定端、y軸＋を上図Aと同じ方向,M+時計回り、L=全長とすると、
EIy''=M(x)=A*L-[μ*m*g*(L-x){(L-x)/2+x}/L]
=A*L-{μ*m*g*(L^2-x^2)/(2*L}
これを2回積分して、出てきた2積分定数を境界条件
y'=0,x=0
y=0,x=0
で決定し、それにx=1000とx=500を代入すれば、中点で先端たわみです。

確認下さい。

追記の補足です。
当然、固定端ははりの自重を全く保持していない前提です。仮に床がなかったら、はりは画面裏方向に自由落下する前提です。

余り実物がイメージできない境界条件ですが･･･。

誤記ありました。
x軸原点(固定部）よりxの位置での右側のM釣り合いを考えた式
誤：EIy''=M(x)=A*L-[μ*m*g*(L-x){(L-x)/2+x}/L]
=A*L-{μ*m*g*(L^2-x^2)/(2*L}

正：EIy''=M(x)=A*(L-x)-[μ*m*g*(L-x){(L-x)/2+x}/L]
=A*(L-x)-{μ*m*g*(L^2-x^2)/(2*L}

お礼

詳細な回答をありがとうございます。力学に関してはまったくの素人のため、この式を理解することは非常に難しいです。よろしければ具体的に数字の代入方法と計算結果を教えていただけますか？
摩擦係数μ=0.2、比重7.8、ヤング率206GPa、A=50kg時の先端たわみと中央たわみ。
EIy''=M(x)=A*(L-x)-[μ*m*g*(L-x){(L-x)/2+x}/L]
=A*(L-x)-{μ*m*g*(L^2-x^2)/(2*L}

回答No.3

noname#230359

定量的に答えられずに申し訳ありませんが，まずは，摩擦力の影響は大した値ではなく，単純な片持ち梁として歪み量を計算すれば宜しいかと思います。

角棒が床を押す力は，角棒の質量×重力加速度による値よりも，固定側の精度や組み立て方法に依存するものが大きいように想像します。
角棒を組み付ける際に，床面に押しつけるような状態になるか，僅かでも隙間があって床面に押しつける力が全く加わらないかで状況が変わると思います。

角棒の材質がご質問で指定されている値(鉄系材料？）ではなく，弾性率が小さく比重が大きい場合(例えば粘土のようなもの）は，摩擦係数が効いてくると思いますので，計算上の配慮がいると思います。

回答No.2

noname#230359

言葉足らずで申し訳ありません。上から見た絵です。角棒は床に接触しており摩擦係数μ=0.2、比重7.8、ヤング率206GPaです。

　固　|　　　　　　　下は床
　　　|____________________________________
|______________角________棒__________]
　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　定　|　　　　　　　下は床　　　　　　　　　↓A(kg)という力で引張る

回答No.1

noname#230359

拘束条件がよくわかりませんが、角棒を平板上に置いて片側固定、長手方向(1000mm?)にAで棒を圧縮した場合の先端と中間のたわみですか？

それって座屈って理解でいいですか？それならば、摩擦係数は関係ないと思うんですが･･･(垂直方向の荷重がないので）。

それとも平板がある理由は、Aの上下方向の移動を拘束する為ですか？そうであれば単純圧縮だと思いますが・・・。