この問題の解答が解る方教えてください(>_<)

質問

この問題の解答が解る方教えてください(>_<)

回答No.1

151A48

μ：母平均、σ：母分散、X~：標本平均
X1,X2,・・・Xnは同一の母平均、母分散をもつ母集団から無作為に抽出したものなので、平均μ、分散σ^2を持つ同一の確率分布に従う独立な確率変数とみなせる。E(Xi)=μ、V(XI)＝σ^2。標本分散の期待値がσ^2になりたいのだが、S^2が設問のように与えられると・・・

E(S^2)=E[1/nΣ(XiーX~)^2]=i/nE[{(Xiーμ)ー(X~ーμ)}^2]=1/nE[Σ{Xiーμ)^2-2(X~ーμ)Σ(Xiーμ)+Σ(X~ーμ)^2]
ここでΣ(Xiーμ)=ΣXiーnμ=nX~ーnμ＝n(X~ーμ)、また (X~ーμ)^2は定数　よって
=1/nE[Σ(Xiーμ)^2-2n(X~ーμ)^2+n(X~ーμ)^2]=1/nE[Σ(Xiーμ)^2ーn(X~ーμ)^2]
=1/n{E[Σ(Xiーμ)^2]-nE[(X~ーμ)^2]
ここでE[Σ(Xiーμ)^2]=ΣE[(xiーμ)^2]=Σσ^2=nσ^2,
E[(X~ーμ)^2]=V(X~)=V(1/n(X1+X2+・・・+Xn)]=(1/n)^2(V(X1)+V(X2)+・・・+V(Xn))=(1/n)^2・nσ^2=1/nσ^2
よってE(S^2)=(nー1/n)σ^2　となりσ^2にならない。S^2=1/(n-1)∑(Xi-X~)^2としておけばよい。