中学受験算数 価格の問題

質問

あるお店では、消費税が導入されて以来、税抜き価格に消費税を加えた金額を税込価格としています。ただし、１円未満の端数は切り捨てます。このお店で商品を買う時次の問いに答えなさい。

消費税が８%である現在、税抜き価格が９９円の商品には消費税が７円つき、税込価格は１０６円です。また、税抜き価格が１００円の商品には消費税が８円つき、税込価格は１０８円です。この例から、このお店では消費税が８%の場合、税込価格が１０７円とはなり得ないことになります。

消費税が５%、８%のいずれの場合にも税込価格としてなり得ないのは何円ですか。また、消費税が３%、５%、８%のすべての場合に税込価格としてなり得ないのは何円ですか。それぞれ考えられる価格のうち一番小さいものを答えなさい。

答えは、

３%、５%→１８８円
３%、５%、８%→３７７円

です。

どうやればよいのかさっぱりわかりません。よろしくお願いします。

回答No.2

noname#227653 · ベストアンサー

5％がいちばん考えやすいでしょう。
まず、1円の商品を買うと消費税込みの値段は1×1.05ですから1.05円になります。小数点以下を切り捨てると1円ですね。
2円だと2×1.05で2.1円です。切り捨てて2円。
これを続けていくと、小数点以下は0.05、0.1、0.15、0.2…と増えていきますね。
そして、切り捨てたあとの値段、つまり消費税込みの値段は1円、2円、3円、4円と増えていきます。
そして、19円の商品に消費税をつけると19×1.05で19.95となりますね。切り捨てると値段は19円です。
そして、その次の20円に消費税をつけると20×1.05で21円となります。これは小数点以下の数字はないので切り捨てる必要はありません。そのまま21円です。
ということは、消費税込みの値段には20円はない、ということです。19円の次は21円なのですから。

つまり、小数点以下の数字が0.05円ずつ増えてゆき、やがて0.95になって、そして次に0になる、その間の数字がないということになります。
そして小数点以下の数字が0になるということは、もとの値段×1.05が整数になるということですから、21の倍数になるということです。
そして、その前の数字（つまり1小さい数字）が、消費税込みの値段としては出てこない数字なのですから、求める数字は21の倍数－1だということになります。
つまり、値段として出てこないのは21－1の20円、42－1の41円、63－1の62円…ということになります。

同じように考えると、消費税が3％の場合は、もとの値段×1.03が整数になればいいのですから1.03の倍数が整数になる最初の数を考えて103円を出し、それより1小さい102円は出てこない、と考えればいいことになります。
確かに、100円の商品に消費税をつけると100×1.03で103円ですが、99円の商品は99×1.03で101.97で、切り捨てると101円になりますから、102円は出てこないことになりますね。
というわけで、消費税が3％の場合は103の倍数－1を考えればいいんだ、ということになりそうですね。
102、205、308…と続く数字です。
これは正しいのですが、実はまだ他にもあるんです。ここが面倒なところです。

消費税が3％の場合、1円の商品だと1×1.03で1.03円、2円の商品だと2×1.03で2.06円になりますね。つまり小数点以下は0.03円ずつ増えます。
そして、33円の商品の時に33×1.03で33.99円になります。切り捨てると33円です。
そして次の34円のときに34×1.03で35.02円になりますね。切り捨てると35円です。
だから34円は出てこないんです。
さらに、66円のときは66×1.03で67.98円。切り捨てると67円です。
そして次の67円は67×1.03で69.01円。切り捨てると69円です。
だから68円も出てきません。

つまり、103の倍数－1の102円の前に、34円、68円のふたつがあるのです。
そして、規則性の性質から考えて、このあとは104から206までの間に３つ、207から309までの間に３つ、と続いていくことになります。
102の次は103＋34で137、103＋68で171、そして206－1で205ですね。
実際の計算では34、68、102のそれぞれに103を足していけばどんどん書き出せます。

8％については御自身で考えてみて下さい。1.08×25が27になる、ということだけお伝えしておきましょう。

お礼

とてもよくわかりました。ありがとうございました。

回答No.3

f272

#1です。

#2さんが色々と書いてくれたので，それ以外の話をします。
消費税が3%のとき
税抜1円なら，1.03円を切り捨てて税込1円
税抜2円なら，2.06円を切り捨てて税込2円
税抜3円なら，3.09円を切り捨てて税込3円
途中省略して
税抜33円なら，3.99円を切り捨てて税込33円
税抜34円なら，35.02円を切り捨てて税込35円
途中省略して
税抜66円なら，67.98円を切り捨てて税込67円
税抜67円なら，69.01円を切り捨てて税込69円
途中省略して
税抜99円なら，101.97円を切り捨てて税込101円
税抜100円なら，103.00円を切り捨てて税込103円
ここまでで税抜で1円から100円まで100通りを考えたのですが，税込金額は1円から103円まであります。税込金額も100通りであるはずですから，ここまでに出てこない金額が3通りあるはずです。
その出てこない金額がいくらなのかも，かなり規則的ですから容易にたどり着けるのではないですか？
消費税が5%のときも同様に，税抜1円から100円までで税込1円から105円までですから，出てこない金額は5通りです。
消費税が8%のときは，税抜1円から100円までで税込1円から108円までですから，出てこない金額は8通りです。
これを念頭におけば，漏れがあったとしても気がつくでしょう。

税抜で100円を超えるところは，考えるのがもっと簡単です。
税抜で101円から200円までは，税抜100円を引き算して考えると，全く同じ規則性で「出てこない金額」が見つかります。
税抜で201円から300円までは，税抜200円を引き算して考えると，全く同じ規則性で「出てこない金額」が見つかります。
以下同文ですから省略します。

お礼

とても丁寧な説明をありがとうございました！

回答No.1

f272

中学受験と言う事なら，小さい方から調べていくのが早いと思う。
3%なら34円，68円，102円がすぐに分かって，その後はそれぞれに103円を加えたものになります。
3%なら20円，41円，62円，83円，104円がすぐに分かって，その後はそれぞれに105円を加えたものになります。
8%なら13円，26円，40円，53円，67円，80円，94円，107円がすぐに分かって，その後はそれぞれに108円を加えたものになります。

補足

「３%なら３４円・・・」など、もう少し説明をいただけたら助かります。