巨大基数って終わりがないんじゃありませんか？

質問

初めの無限基数がω0で、その後ω1（連続体仮説がなければその間がありますが置いておいて）、ω2・・・・と続いてω^ω^ω^・・・・になり、
これの上が弱到達不能基数ですよね？
ということは弱到達不能基数の上に何かあり、その上に何か・・・というのが可算無限回続き、非可算無限回続き、・・・
と結局終わりがないのではありませんか？
数学者はなぜこんなのを研究していたのですか？

回答No.3

tmpname

もうちょっと書くと、
つまり実数の部分集合についてかかれた命題で、その命題自身は全然巨大基数を使わなくて書けるものであっても、その命題が成り立つには集合が『凄くいっぱいある』必要があることがある（ことが、最近分かってきた）。こういう「いっぱい集合がある」ことが必要な、「普通の」命題はたくさんあって、そのため集合がいっぱいあることを保証するような公理がほしい。
そうした中で巨大基数の概念が自然と出てきて、どこまで集合の種類を増やせて、矛盾なく世界をつくれるか、という議論がでてくるわけです

回答No.2

tmpname

まず一点
> その後ω1（連続体仮説がなければその間がありますが
ありません。ω0の次は、CH（連続体仮説）があろうがなかろうが必ずω1です。CHは2^ω0 = ω1という仮説です。CHが無いと、一般に2^ω0 ≧ ω1とまでは言えるが、それ以外は分からない、ただしω0の次はω1です。

次に、巨大基数というのは、別に数学者が適当に考えたわけではなく、実はそれよりも「ずっと小さな無限」を考えた命題が成り立つかどうかを考えていたのに、そこから「自然発生的に」考えなくてはいけなくなったり、或いは「小さな無限」では成り立っていた命題を拡張しようとすると、これまた「自然発生的に」でてくるものなのです。

例えば、適当に http://tenasaku.com/academia/notes/UsubaFujita_JSPS2012.pdf から引っ張ってくると、PM: 「実数の射影集合( = ∪(n=1→∞) Σ^1_n , Σ^1_nの定義は書きません。pdfをみてください) はすべてルベーグ可測である」という命題を考えてみると、
* ZFC + V=L は ￢PMを導く
* Con(ZFC + 到達不能基数が存在する) とCon(ZFC + PM)は同値である
* 可測基数が存在するならば、Σ^1_2 集合はルベーグ可測である。しかし、可測基数が存在してもルベーグ可測でないΣ^1_3集合が存在するモデルが作れる
* 無限に多くのウディン基数が存在するならばPMが成立する。特に、超コンパクト基数が存在すれば、PMが成立する

みたいな感じで、実数の部分集合という「小さい無限」を考えていたはずなのに、なぜかすごく大きい巨大基数が顔を出すのです。というわけで、巨大基数を考えるのは、別に不自然なことではないのです。

回答No.1

trytobe

「拡張に終わりがある」「拡張に終わりがない」では大違いだからです。

つまり、応用問題として解けるのか、全く別の方向性から解き方を構築しないといけないのか、という、未解決問題がなぜ解けないのか・どこが壁なのか、という把握に必須なのです。