不純物半導体のキャリヤ密度

質問

テキストに『アクセプタ準位E_aを''正孔''が占有する確率は、(n_d)/(N_a)=1/[1+(1/2)*e^{(E_f - E_a)/(k_B*T)}]となる。 』と書かれていますが、この式を導く手順を教えてください。

左辺のn_dとN_aについては、N_a個の準位に、n_d個の正孔を配る仕方の数を考えるために用意されたものではないかと考えています。

回答No.1

trytobe

e^ kBT エネルギー準位 確率 ボルツマン OR ギブス 分布 OR 因子 - Google 検索
https://www.google.co.jp/search?q=e%5E+kBT+%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC%E6%BA%96%E4%BD%8D+%E7%A2%BA%E7%8E%87+%E3%83%9C%E3%83%AB%E3%83%84%E3%83%9E%E3%83%B3+OR+%E3%82%AE%E3%83%96%E3%82%B9+%E5%88%86%E5%B8%83+OR+%E5%9B%A0%E5%AD%90

あるエネルギー準位にある確率を、自然対数の底 e の (1/kBT)乗で表せる、という古典確率論を元に、それにエネルギー準位のエネルギー差や、正孔 d 個を分配する組み合わせの数、などを掛け算するなどして、まとめた結果ではないでしょうか。

おそらく、そのあたりの教科書の記述や、確率論の式変形を乗せている書籍・サイトを見ると、この 自然対数の底 e の (1/kBT) 乗 のものから、類似のものが見つけやすいかと思います。

EMANの物理学 過去ログ No.8075
http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log08075.html

お礼

回答ありがとうございます。
テキストにドナー準位Edを占めるドナー電子の分布関数についての導出法がありましたので、これを問題の正孔の方にも活かせるのではないかと思います。

Nd個の準位にnd個の準位をスピンも考慮に入れて分配し、その仕方の数をPとすると、P=Nd!/[{nd!(Nd-nd)!}]*2^ndとなる。
Nd,ndが十分に大きな数であるとし、スターリングの公式を用いてPの式の両辺の対数をとると、
ln P=Nd*(ln Nd) - nd*(ln nd) - (Nd - nd)*(ln (Nd - nd))+nd*(ln 2)となる。
ここで、ln Pを最大とするndを求める。
δ(ln P)=-ln nd + ln (Nd-nd) + ln 2=0 となる。
この式に全電子数と全エネルギーを一定に保つという条件を加えると、
ln {nd/2(Nd-nd)} + α + βEd=0

※これはδnd=0, (Ed)*(δnd)=0とおいて、α*δnd=0 と、β*Ed=0をδ (ln P)=0の式から引いているのだろうと思います。

続きです。
f(Ed)=nd/Ed=1/{1+(1/2)*e^(α+βEd)}となる。
この式のα=-Ef/kT, β=1/kTで与えられるから、
f(Ed)=nd/Nd=1/{1+(1/2)^(Ed-Ef)/kT}となる。

すみませんここで質問があるのですが、最後の部分のβがなぜβ=1/kTで与えられるのかが良く分かりません。

フェルミ・ディラックの分布関数のf(E)=1/{1+e^(α+βE)}の式のβは、高エネルギー領域(E>>1)では、電子が遷移する際の移り先のエネルギーを自由に選べる事から、マクスウェル・ボルツマン分布関数Ae^(-βE)=Ae^(-(1/kT)*E)のβ=1/kTと一致すると書かれています。

ではドナー準位の電子の分布関数でβ=1/kTとおいたのは、ドナー準位が高くなった場合(Ed>>1)となった場合、マクスウェル・ボルツマン分布関数と一致するという事なのでしょうか？