図形 距離

質問

曲面xy+yz+zx=1上の点で原点から最短距離にあるものを求める方法を教えて下さい。

回答No.2

noname#215361 · ベストアンサー

まずは、前段階としてxy=1を考えます。
これは、xとyを入れ替えても全く同じです。

これを変形して、y=1/x（これは双曲線）
y=1/x上の点で原点から最短距離にあるものは、
原点からの距離の2乗=x^2+1/x^2が最小になるxを求めればばいい
f（x）=x^2+1/x^2とおくと、
f'（x）
=2x-2/x^3
=2（x^4-1）/x^3
=2（x^2+1）（x^2-1）/x^3
=2（x^2+1）（x+1）（x-1）/x^3
これは、x=±1で極小になる（x=0で不連続）
よって、x＝1、y=1/1=1のとき、
原点からの距離（最短距離）は、√（1^2+1^2）=√2
同様に、x＝-1、y=1/（-1）=-1のときも、
原点からの距離（同様に最短距離）は、√｛（-1）^2+（-1）^2｝=√2
以上から、x=yのとき最短距離になることが分かる

ここからが本題です。

曲面xy+yz+zx=1を双曲線xy=1と同様にとらえ、
x=y=zとすると、
xy+yz+zx=x^2+x^2+x^2=3x^2=1→x=±√3/3
よって、原点から最短距離にある点は、
（√3/3，√3/3，√3/3）と（-√3/3，-√3/3，-√3/3）
また、原点からの最短距離は、
√｛（√3/3）^2+（√3/3）^2+（√3/3）^2｝=√（3*3/9=1

回答No.1

bran111

曲面xy+yz+zx=1上の点P(x,y,z)に対し、位置ベクトルr↑=xi↑+yj↑+zk↑及び次のベクトルr'↑を考える。

r'↑=yi↑+zj↑+xk↑

余弦定理により

r↑・r'↑=|r↑||r'↑|cosθ

故に

|r↑・r'↑|≦|r↑||r'↑|　　　　　（1）

右辺は

r↑・r'↑=(x,y,z)(y,z,x)=xy+yz+zx

題意により

r↑・r'↑=xy+yz+zx＝1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）

(1)の右辺は

|r↑||r'↑|＝√(x^2+y^2+z^2)√(y^2+z^2+x^2)=(x^2+y^2+z^2)=R^2　　　（3）

Rは原点Ｏと点Ｐの距離である。(2),(3)を(1)に代入して

R^2≧1

よってrの最小値は1であり、rが最小値を取るのはcosθ=1, θ＝0, すなわち

r↑//r'↑のときであって

x/y=y/z=z/x

が成り立つ。このとき

x=y=z

点P(x,y,z)は曲面xy+yz+zx=1上の点であるので

3x^2=1

x=y=z=1/√3=√3/3

答え

曲面xy+yz+zx=1上の点で原点から最短距離にある点は(√3/3,√3/3,√3/3)であって、最短距離は1