大学1年の線形数学です

質問

写真の問題教えてください！
教科書では、一次写像の定義は
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(kx)=kf(x)
の２つが成り立つことです。
(ここでxとyは一般のベクトルです)

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

f((x1,x2,x3)^t)=(a1+b1+c1,a2+b2+c2)^t(x1,x2,x3)^t

^tは横ベクトルを縦ベクトルへ帰ることを意味する。

(x1,x2,x3)^t=X, (a1+b1+c1,a2+b2+c2)^t=(D)で表すと

f(X)=(D)X

f(kX)=(D)kX=k(D)X=kf(X), ie f(kX)=kf(X)

f(X+Y)=(D)(X+Y)=(D)X+(D)Y=f(X)+f(Y), ie f(X+Y)=f(X)+f(Y),

ゆえにfは線形写像である。

回答No.1

26803TT519

列ベクトルは書きづらいので, 行ベクトルで書く.

まず, 画像が潰れていて, 正確に判読できない.
要するに, こういうことか.
R^3 から R^2 への線型写像 f は,
f(x, y, z) = (ax + by + cz, px + qy + rz) --- (*)
のように表されることを, 線型写像の定義に基づいて証明せよ.

もしそうなら, 証明は簡単だ.

f が (*) のように与えられれば, f は明らかに R^3 から R^2 への線型写像だ.
明らかと思えないなら, きちんと証明せよ.

逆に, f が R^3 から R^2 への線型写像だとすれば,
f(1, 0, 0) = (a, p),
f(0, 1, 0) = (b, q),
f(0, 0, 1) = (c, r)
として, f(x, y, z) を求めてみよ.

お礼

ありがとうございました！