フーリエ級数展開の数値計算

質問

フーリエ解析と信号処理の初歩的な入門書を少し読んで、得た知識をExcel で確認しようとしているですが、よくわからないことがあるので質問させてください。

　64営業日分の株価を Excel でフーリエ変換し、以下のようなデータを得ました。
http://www.img5.net/src/up26440.jpg
k　 終値　　　　|Ck|　　　　　　 arg Ck
0　 679　　　　43578　　　　　　　 0
1　 699　　　　471.1925885　　　1.46434124
2　 696　　　　127.2789785　　　0.502316976
3　 674　　　　182.447214　　　 2.142303271
4　 668　　　　72.28019696　　　0.337870389
5　 662　　　　119.8389676　　　-3.137168335
6　 668　　　　142.271173　　　 -1.637414528
7　 671　　　　57.39334904　　　-1.574358665
…………………
　64営業日を1周期とし、区間[0,2π]に対応させ
　　ω = 2π/64 =　π/32
を用いて株価 f0～f63 を
　　f0 = f(0)
　　f1 = f(ω)
　　f2 = f(2ω)
　　 ……
　　f63 = f(63ω)
のように関連づけます。つまり t = kω(k = 0,1,2……63) のとき連続関数 f(t) から切り出したものが株価 f0 ～ f63 と見なします。このとき f(t) を 5 次まで求めるのが目的です。

　k = 0, 1, 2, …… とし、Ck の偏角を ψk、Ck の共役を _Ck とすると
　　Ck = |Ck|e^(jψk)
なので f(t) は

　　f(t) = C0 + ∑ [k=1→∞]( Ck・e^(jkωt) + _Ck・e^(-jkωt) )

　　　　 = C0 + ∑ [k=1→∞]|Ck|( e^j(kωt+ψk) + e^(-j(kωt+ψk)) )

　　　　 = C0 + 2∑[k=1→∞]|Ck|cos(kωt+ψk)

　したがって5次までの f(t) は
　　ω = π/32 = 3.141592/32 = 0.09817475
とすると
　　f_5(t) = C0 + 2∑[k=1→5]|Ck|cos(kωt+ψk)

　　　　　 = C0 + 2( |C1|cos(1ωt+ψ1)
　　　　　　　　　 + |C2|cos(2ωt+ψ2)
　　　　　　　　　 + |C3|cos(3ωt+ψ3)
　　　　　　　　　 + |C4|cos(4ωt+ψ4)
　　　　　　　　　 + |C5|cos(5ωt+ψ5) )

　　　　　 = 43578 + 2( 471.1925885*cos(0.09817475t + 1.46434124)
　　　　　　　　　　　+ 127.2789785*cos(0.1963495t + 0.502316976)
　　　　　　　　　　　+ 182.447214*cos(0.29452425t + 2.142303271)
　　　　　　　　　　　+ 72.28019696*cos(0.392699t + 0.337870389)
　　　　　　　　　　　+ 119.8389676*cos(0.49087375t -3.137168335) )

　　　　　 = 43578 + 942.385177*cos(0.09817475t + 1.46434124)
　　　　　　　　　 + 254.557957*cos(0.1963495t　+ 0.502316976)
　　　　　　　　　 + 364.894428*cos(0.29452425t + 2.142303271)
　　　　　　　　　 + 144.56039392*cos(0.392699t + 0.337870389)
　　　　　　　　　 + 239.6779352*cos(0.49087375t - 3.137168335)

となります。ところがこれで t = 0 のときを計算すると

　　　　　 f_5(t) = 43600.5848837014

になってしまいます。高々5次の近似ですので全体としては荒いグラフになると思うのですが、少なくとも t = 0では 679 なるとおもうのですが。どこがおかしいのでしょう？
　それとも何か決定的な間違いを犯しているのでしょうか？

※Excel の逆変換を使えば正しく 679 に変換されます。
　フーリエ係数 Ck は Excel の FFT で算出されたものですから、連続関数の f(t) の Ck とは正確には一致しないとは思いますが・・・・・・

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

f_5(t) =　　　　　 = 43578 + 942.385177*cos(0.09817475t + 1.46434124)
　　　　　　　　　 + 254.557957*cos(0.1963495t　+ 0.502316976)
　　　　　　　　　 + 364.894428*cos(0.29452425t + 2.142303271)
　　　　　　　　　 + 144.56039392*cos(0.392699t + 0.337870389)
　　　　　　　　　 + 239.6779352*cos(0.49087375t - 3.137168335)

これをみると係数が収束してないので原波形と一致するはずがありません。「高々5次の近似」なんて言葉は使いません。第5高調波です。もとの波形を8点で入れているのであればすくなことも第16高調波ぐらいまでは入れて収束（係数がほとんど0になること)を見る必要があります。
また全体の挙動をつかむのが何より重要です。結果はすべてグラフ化して波形としてとらえてください。多分だい5高調波まででは元の波形とは似ても似つかぬものになっているでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
> 係数が収束してないので原波形と一致するはずがありません。
　定数項が大きすぎることもネックになっているのではないでしょうか？

　もう少し考えてから改めて質問させていただきます。