ガウスの法則の問題

質問

内部に空洞のある導体では、空洞の内部に電荷を入れれば、その電気量と大きさが等しく異符号の電荷が空洞の壁に現れ、その電気量と大きさが等しく同符号の電荷が導体の外側の表面に現れることを証明せよ。
空洞内部の電荷を空洞の壁に接触させると、電荷は導体の外側の表面にのみ現れることを証明せよ

という証明がわかりません。わかる方教えてください。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

導体内を通り空洞を包む閉曲面では
導体内の電場は0ですから
閉曲面内の電荷は0。
従ってガウスの法則から空洞内壁に
空洞内と同量で異符号の
電荷が有ることになります。

空洞を含む導体全体で、電荷の総量=空洞内の電荷
となっている場合、ガウスの法則から内壁の電荷を
打ち消すだけの電荷が導体外壁に必要になります。

内壁の電荷と空洞内の電荷を接触させて中和すると
空洞内の電場は消えますが、電荷の総量は変化しないので
ガウスのから外壁の電荷は残ります。

もう少し細かな議論が必要ですが、大まかには
こんなものです。

お礼

回答ありがとうございます。
とても参考になりました。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

訂正
＞ガウスのから外壁の電荷は残ります。
⇒ガウスの法則から外壁の電荷は残ります。

ついでに少しだけ細かな議論をちょっと付け足すと

内壁よりほんのちょっとだけ導体内側へ引っ込んだ閉曲面は
導体内ですから電場は０なので、ガウスの定理によりその中の電荷の合計は 0。

一方、内壁よりほんのちょっとだけ導体の外側の閉曲面ではガウスの定理により
電荷の合計は導体内壁内の電荷の合計。

この2つから、上で説明した2つの閉局面に間、つまり、導体内壁表面には電荷が
存在することになります。

導体外壁表面もほぼ同様の議論が成り立ちます。