画像の問題は不定積分を求めよ。

質問

なんですけどなんで最後の答えに４＾（ーｘ）の係数がプラス１じゃなくてマイナス１なんですか？

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

>４^(-x) の係数がプラス１じゃなくてマイナス１なんですか？

この積分の部分だけ取り出せば
公式:4^(-x)=e^(-xlog(4)) と
合成関数の積分公式：∫ {f(x))' e^(f(x))dx=e^(f(x))+C を使えば
(-xlog(4))'=-log(4) より
∫ 4^(-x)dx=∫ e^(-xlog(4))dx
=(-1/log(4))∫ (-xlog(4))' e^(-xlog(4)) dx
=-(1/log(4)) e^(-xlog(4))+C
もとに戻して
=-(1/log(4)) 4^(-x) +C
となって係数にマイナス(-)が出てきます。

これは、4^(-x) のべき乗数「-x」のマイナス（-）が出てきたものです。

お礼

ありがとうございます。
そういう解き方も、あるんですね。
公式a^(βx+b)dx＝{1/(β log a)}・a^(βx+b)+Cを使っても解けますね。

回答No.1

yyssaa

＞マイナス1です。
4^x=t、xlog4=logt、log4dx=(1/t)dt、dx=(1/t)dt/log4
4^(-x)=1/t
∫{(4^x+4^(-x)-2}dx=∫(t+1/t-2)(1/t)dt/log4
=(1/log4)∫(1+1/t^2-2/t)dt
=(1/log4)∫1dt+∫t^(-2)dt-2∫1/tdt
=(1/log4){t-t^(-1)-2logt}+C
=(1/log4){4^x-4^(-x)-2xlog4}+C
=(1/log4){4^x-4^(-x)}-2x+C

お礼

ありがとうございます。
そういう解き方もあるんですね。
公式a^(βx+b)dx＝{1/(β log a)}・a^(βx+b)+Cを使っても解けますね。