効用関数からの需要関数の導出

質問

「家計Aの第一財、第二財の消費量をそれぞれx1、x2　とおく。
第一財の価格をp1,　第二財の価格を２、所得を15とする。
家計Aの効用関数を　x1+x2　とするとき、第一財について需要関数を求めなさい。」
という問題です。
（限界代替率）＝（価格比）っていうのはわかるんですが（1 = p/2)、そのあとがわかりません。
聞くところによれば場合分けすればよいらしいのですが、どうやって場合分けするのでしょうか？

回答No.3

statecollege · ベストアンサー

＞p<2 のとき、y=0なのでp1x1 = 15,
つまりx1=15/p1
p=2 のとき、2財は無差別。
したがって、 0≦x1≦15/p1
p>2のとき、x1 = 0

ｐとはｐ１のこと？以下で、私の記号Px、第1財はX財でｘを使います。あなたの答えで合ってますね！
X財のへの需要関数は

Pｘ＜２のとき、　x=15/Px
Pｘ＝２ののとき、0≦ｘ≦15/2
Px ＞２のとき、　ｘ=０

となります。Px < 2あるいはPx > 2のときが、端点解、英語でcorner solutionといい、解がX軸あるいはY軸上にあることになるので、一階の条件MRS = Px/Pｙが等号では成立しません！

回答No.4

statecollege

回答３への追記です。

X財のへの需要関数は

Pｘ＜２のとき、　x=15/Px
Pｘ＝２ののとき、0≦ｘ≦15/2
Px ＞２のとき、　ｘ=０

となります。

と書きましたが、Px =2のときは、ｘは０≦x≦15/2の範囲で任意（無差別）です。そのときｙは15/2-xとなります（Y財の需要は尋ねられていませんが。。。）Px =2のときは、XとYとはこの消費者の眼には、価格の面でも完全代替的となるから無差別なのです。

回答No.2

statecollege

あなたの質問で、Pｙ＝２とI = 15は与えられてることに気づきましたので、回答１（より一般的になっている）をつぎのように修正してください。

まず、U = x + y　から導かれる無差別曲線群をx-y平面に描いてください。そこに予算制約の式(予算線）

　　Px・ｘ + 2y = 15

を書きいれてください。無差別曲線の傾きは-1、予算線の傾きは-Px/2であることに注意して、与えられた予算線のもとで一番高い無差別曲線に達する消費の組(x,y)を求めてください。3つの場合があることがわかるでしょう。図を描いて調べれば、あなたの「限界代替率(-1)＝価格比（-Px/2)」は一つのケース(内点解）にすぎないことがすぐにわかるはずです。要するに、この問題には、あと２つの端点解のケースがあるのです。出来たら、「補足質問」してあなたの答えを見せてください！

繰り返して強調しますが、この種の問題では図を描いて調べることが一番なのです。

回答No.1

statecollege

このような特殊の効用関数についてはここ（↓）で解説したことがある。

　　　http://okwave.jp/qa/q8377790.html

まず、U = x + y　から導かれる無差別曲線群をx-y平面に描いてください。そこに予算制約の式(予算線）

　　Px・ｘ + Py・y = I

を書きいれてください。無差別曲線の傾きは-1、予算線の傾きは-Px/Pyであることに注意して、与えられた予算線のもとで一番高い無差別曲線に達する消費の組(x,y)を求めてください。3つの場合があることがわかるでしょう。図を描いて調べれば、あなたの「限界代替率(-1)＝価格比（-Px/Py)」は一つのケース(内点解）にすぎないことがすぐにわかるはずです。要するに、この問題には、あと２つの端点解のケースがあるのです。出来たら、「補足質問」して見せてください！

補足

ありがとうございます。
端点っていうのはたぶん予算線とx軸、予算線とy軸との交点ってことですか？あまり自信はないですが自分の答えを書いときます。
p<2 のとき、y=0なのでp1x1 = 15,
つまりx1=15/p1
p=2 のとき、2財は無差別。
したがって、 0≦x1≦15/p1
p>2のとき、x1 = 0