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limsup(sinN)=1を示すには？
- 1＋ε<sinNを満たすnは有限個(0個)が自明なので、1-ε>sinNを満たすNが無限個存在する、ということが分かれば上極限と同値となる性質が言える。
- Nを大きくしていって点を取っていくと、1-ε<c<1となる点cがさらに増え続けていくと予想される。
- limsup(sinN)=1を示すためには、1-ε>sinNを満たすNが無限個存在することを証明する必要がある。これによって、上極限と同値となる性質が言える。
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sin(N) = sin(π/2 + 2π・(N/(2π) - 1/4))で、 N/(2π) - 1/4 が整数に近づくほど sin(N) が 1 に近づきます。 1/(2π) が無理数だから、下の命題１を示せば十分です。 以下、実数 x に対して、x を超えない最大の整数を Int(x) で表します。 Frac(x) = x - Int(x) とします。 命題１ γを正の無理数とする。 a を実数とする。εを正数とする。すると、Frac(γN - a) < ε となる正整数 N が無数に存在する。 命題１について、 a = 0 の場合について証明できれば、そのことを使って一般の a の場合に拡張するのは難しくありません（拡張方法は省略）。さらに、a = 0 の場合については、次の命題２を示せば十分です。 命題２ γを正の無理数とする。N を正整数とする。すると、M > N かつ Frac(γM) ≦ Frac(γN)/2 を満たす整数 M が存在する。 （命題２の証明） α = Frac(γN) とする。γN が無理数だから、 α ≠ 0 である。そこで、t = Int(1/α) と置く。次のことは容易に確かめられる。 Frac(γtN) = tFrac(γN) Frac(γ(t+1)N) = (t+1)Frac(γN) -1 すると、 (1 - Frac(γtN)) + Frac(γ(t+1)N) = Frac(γN)) となる。よって、1 - Frac(γtN) と Frac(γ(t+1)N) のどちらかは、Frac(γN)/2 以下である。もし、前者なら、s = Int(1/(1 - Frac(γtN))) として、M = stN とすればよい。後者なら、M = (t+1)N とすればよい。 （命題２の証明終わり）
