2質点系の運動エネルギーについて

質問

相対速度v＝v2-v1を用いて系の運動エネルギーを出したいのですがどのようにすればいいでしょうか？お願いします

回答No.2

hitokotonusi

一般にはそれだけでは出ませんが、換算質量を使って重心運動の運動エネルギーと組み合わせれば求められます。

それぞれの質量をm1, m2
全質量をM=m1+m2
換算質量を μ= m1m2/(m1+m2)
重心の速度をV

として、全体の運動エネルギーKは

K = (1/2)MV^2 + (1/2)μv^2

系外から力が働かず最初から重心が動かないような条件であれば、

K =(1/2)μv^2

でvから運動エネルギーが求められます。

計算は、それぞれの位置ベクトルをr1, r2,
重心の位置ベクトルをR、相対ベクトルをrとして

m2 r2 + m1 r1 = M R
r2 - r1 = r

から

r1 = R - (m2/M)r
r2 = R + (m1/M)r

が得られるのでこれから

V = dR/dt
v = dr/dt = d(r2-r1)/dt = v2 - v1
v1 = dr1/dt = V - (m2/M)v
v2 = dr2/dt = V + (m1/M)v

となるので、全体の運動エネルギーを計算すれば

(1/2)m1 v1^2 + (1/2) m2 v2^2
= (1/2)m1 [V - (m2/M)v]^2 + (1/2) m2 [V + (m1/M)v]^2
= (1/2)m1 [V^2 - 2(m2/M)Vv + (m2/M)^2 v^2 ] + (1/2)m2 [V^2 + 2(m1/M)Vv + (m1/M)^2 v^2 ]
= (1/2)(m1+m2)V^2 + (1/2)[m1(m2/M)^2 + m2(m1/M)^2]v^2
= (1/2)(m1+m2)V^2 + (1/2)(m1m2/M)v^2
= (1/2)(m1+m2)V^2 + (1/2)μv^2

あるいは、質点系の運動は重心運動と重心まわりの運動に分離できることを知っていれば、それを使って、

K = (1/2)MV^2 + (1/2)m1(v1-V)^2 + (1/2)m2(v2-V)^2
= (1/2)MV^2 + (1/2)m1[- (m2/M)v]^2 + (1/2)m2[(m1/M)v]^2
= (1/2)MV^2 + (1/2)[(m1m2^2 + m2 m1^2)/M^2 ]v^2
= (1/2)MV^2 + (1/2)[m1m2/M]v^2
= (1/2)MV^2 + (1/2)μv^2

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

不可能です。
例
秒速0 m/sと1 m/sの場合
秒速1000 m/sと1001 m/sの場合

いずれも速度差は1 m/s ですが
運動エネルギーは全く違います。