確率： 1/5を1回と1/10を2回どちらが有利？

質問

当たる確率が1/5のくじを1回ひくのと、
当たる確率が1/10のくじを2回ひくのでは、
1/5を1回ひいたほうが有利だ。

という本を読みました。（記憶があいまいです。間違っていたらごめんなさい）

確率のこと、全くわからないのですが、素人的にはどっちも同じ確立に見えるのですが、なぜ1/5を1回のほうが当たる確率が高くなるのか、考え方を教えて頂けませんでしょうか。

（または、私の記憶が間違っている場合は、それも教えて頂けますと幸いです。）

あたまの悪い質問でごめんなさい。宜しくお願いします。

回答No.16

stomachman · ベストアンサー

「有利」と言うのは、「アタリを引くのは良いことだ」を前提とした話ですね。（アタリを引いたら地獄行き、というくじもある訳で。）

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(1) （公団住宅の抽選(って、いつの話やねん）のように）一度でもアタリをひけば成功、という話の場合。

[A] アタリの確率が1/10であるくじびきを2回できる場合。
(a) 1回目でアタリになる場合。（2回目のくじはひく必要がない。）こうなる確率は1/10。
(b)1回目でハズレ(確率は9/10)で、2回目でアタリ(確率は1/10)になる場合。こうなる確率は (9/10)×(1/10) = 9/100。
　さて、(a)と(b)が両方同時に生じるということはないので、成功する確率は(a)と(b)を足し算すれば計算できます。すなわち、
　　1/10 + 9/100 = 19/100
の確率で成功。

[B] アタリの確率が1/5であるくじびきを1回できる場合。
(a) 1回目でアタリになる場合。確率は1/5 = 20/100

だから、[B]の方が有利。
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(2) アタリ1本につき、賞金を一定額(たとえば1000円)もらえるという話の場合。

[A] アタリの確率が1/10であるくじびきを2回できる場合。
(aa) 1回目でアタリ(確率は1/10)で、2回目もアタリになる場合。こうなる確率は(1/10)×(1/10)=1/100で、2000円もらえる。
(ab) 1回目でアタリ(確率は1/10)で、2回目はハズレになる場合。こうなる確率は(1/10)×(9/10)=9/100で、1000円もらえる。
(ba)1回目でハズレ(確率は9/10)で、2回目でアタリになる場合。こうなる確率は(9/10)×(1/10)=9/100で、1000円もらえる。
　(aa)と(ab)と(ba)のうちの複数の状態が同時に生じるということはないので、もらえる金額の期待値は
　　(1/100)×2000 + (9/100)×1000 + (9/100)×1000 = 200円
と計算できます。（期待値ってのはつまり、沢山の人が[A]にチャレンジしたとき、得られた賞金額(0円の人もいます)を合計してチャレンジした全員の人数で割ると、ひとりあたり200円ゲットしたことになる、ってことです。）

[B] アタリの確率が1/5であるくじびきを1回できる場合。
(a) 1回目でアタリになる場合。確率は1/5で、1000円もらえる。
　もらえる金額の期待値は　(1/5)×1000 = 200円。

だから[A][B]どっちでも期待値は同じ。
　しかし、「いくらでもいいからもらえる確率」を考えると、これは(1)の問題と同じことになり、[B]の方が有利。

（なお、ANo.14は、くじを「箱に戻すかどうか」（箱に戻すかどうかで、当たる確率が変わる）ということを議論していらっしゃいますが、1回目も2回目も「当たる確率が1/10のくじ」である、ということが問題の前提なんですから、「箱に戻すかどうか」は考慮する必要がありませんね。）

お礼

>「有利」と言うのは、「アタリを引くのは良いことだ」を前提とした話ですね。
はい、そうです！

>（アタリを引いたら地獄行き、というくじもある訳で。）
確かに、こういう考え方があることを全く想定せず質問してしまいました。

>公団住宅の抽選(って、いつの話やねん）
1968年に書かれた本でした！笑

「期待値」という考え方を、16さんの書き込みで知ることが出来ました。私本当に頭の中が小学生どまりなのですが、まさに数学の確率的な？考え方なのだと思います。

恐らく私が読んでいた本が言いたかった確率のたとえ話では、「19/100＜20/100」だから数学を知っている人は1/5を1回のほうが有利、という表現をしていたのだと思います。

「箱に戻すかどうかで、当たる確率が変わる」「1回目も2回目も「当たる確率が1/10のくじ」である」この議論は、私の問題提起の書き方に問題があったのだと思います。そもそも、このように考え方が２つに分かれることすら想像もせずに安易に質問させていただいておりました。申し訳なく思っています。

その違いを本件で理解することができました。嬉しい限りです！！ありがとうございます！

補足

みなさまに、とってもご丁寧に解説していただいたのですが、最後の最後、本当に考え方の整理がすっきりできたNo.16さんをベストアンサーに選ばせて頂こうと思います。

でも、みなさまのどのご回答も、自分の曖昧さの発見から確率の考え方まで勉強になりました！！

ほんとうにほんとうに、ありがとうございました！みなさまのご親切に、心から感謝しています。ありがとう！

回答No.17

jmh

「１００％を１回」と「５０％を２回」を比べると、前者の方が圧倒的に有利な感じがします。だから「当たる確率を半分にして回数を２倍」にされるのは、損した気持ちになります。

お礼

>「当たる確率を半分にして回数を２倍」にされるのは、損した気持ちになる

この考え方で考えることができませんでした。参考にさせて頂きます！

回答No.15

etranger-t

ＡＮｏ．７です。

この場合足し算、掛け算などの難しい問題とは思えないのです。
私の趣味の競馬で例えると、現実の競馬であれば馬の能力、調教、実績、体調、コース適性、レース展開、などの要素によって勝つ確率の高い馬や低い馬がありますが、それらを全部度外視して考えますと、

５頭立てのレースで１着を当てる場合の確率は1/5です。
１０頭立てのレースで１着を当てる場合の確率は1/10です。
でも、１０頭立てのレースを当てる場合は２回チャレンジ出来ます。
その場合、２回目も１０頭立てで１着を当てる確率は1/10のまま変わりません。
２回目は１頭減らして９頭立てのレースであっても１着を当てる確率は1/9に過ぎません。

これは、足そうが掛けようが、この確率が変わることが無く、1/10の確率の勝負を２回して有利なのであれば、1/10の方をやればやるほど的中することになります。まさにギャンブルで身を滅ぼすパターンです。

つまりは、1/10の確率のくじ（ギャンブル）を２回ひいても、1/5の確率よりも有利になることはないということです。

お礼

ありがとうございます！別の確率の本で、まさに競馬のたとえ話が書かれていたのを思い出しました。（意味がわからないのになぜかこういう本を読んでしまいます・・・）
その本では、「ボックス」（でしたっけ？）という競馬のかけ方では、確率的に考えてとても不利、というような内容だったと記憶しています。
ここで７さん（15さん）のおっしゃっている「○頭立て」というのがボックス？というものだと思うのですが、このご説明を読んで「おぉ！」と思いました！ありがとうございます。

回答No.14

tlover

No.4 です。
あなたの日本語理解力の問題ではありません。
「当たる確率が1/5のくじを1回引くのと、1/10のくじを2回引くのとどちらが有利か？」
という問題設定が不十分なのです。

1回当たればそれでよい、例えばイベントの入場権利の場合など。
2回当たれば2回分のメリットがある、例えば賞金がもらえる場合など。

そして、2回引く場合、引いたくじを戻して引き直すまたは2つの別の箱に入っている
くじを引くのか、1つの箱から引いたくじを戻さずに続けて引くのか。

このような条件によって考え方が変わります。

戻す場合、
1回当たればよいのなら1/5が有利、2回当たる意味があるのなら同じ。

戻さない場合、
1回当たればよいのなら同じ、2回当たる意味があるのなら1/10が有利。

ただし、例えば賞金がもらえる場合は、確率が小さいほど賞金額が多いのが
現実では一般的ですから、1/10の方が賞金額が2倍になっているのなら、
2回チャンスがある分、1/10の方が常に有利ですね。

このように、条件をきちんと定めないと問題になりません。

お礼

ありがとうございます。「問題設定が不十分なのです。」という一文、私もこれまでのみなさまのご丁寧な解釈とご説明で理解できました。数学の世界の面白さ？なのか？わかりませんが、こうした考え方にとても興味が出ました！

回答No.13

masamasa74

No.5です。

数学的な考え方とは「○○の場合」や「「△△の場合」といった、あらゆる可能性を考える事です。

他の方が回答していますので詳細は書きませんが、1回目も2回目も当たる確率は
1/10×1/10で1/100となります。

ここで見て欲しいのは「1/100」という数字です。
これは『100個のボールの内1個当たり』と同じ意味になります。

さて、質問文のどこに『1/100のくじ』と書いてありますか？
書いていない数字が当たり前のように出てくるのが【数学的】な考え方の特徴となります。

「りんごを3人で分けました。1人あたりいくつですか？」なんていう、ありふれた問題も数学的な答えは
『1÷3=0.333・・・』と割り切れない数字になってしまいます。
すると現実問題としてりんごを3人で分けるのは不可能という答えになってしまいます。
でも答えを1/3とすると割り切れてしまいます。

都合の良い答えに変更出来るのも【数学的】な考え方です。

No.2さんの補足にかかれている「公営住宅の抽選」のようなくじだと、【現実的】な考え方になります。
『1部屋に対し10人の応募があった物件を2カ所』という事ですから、数字の確率は1/10を2回になります。

10人に1人しか当選しないのですから、確率は1/10になりますし、次の物件に対しても10人に1人しか当選しませんから、確率としては1/10のままなのです。
2カ所ともに当選したとしても、1/10という確率を2回繰り返しただけで、100人で争った訳ではありません。

そしてNo.5にも書いた『引いたくじを戻さない』場合の考え方も【現実的】な考え方です。
公営住宅を例に取ると『2部屋に対し20人の応募があった』と内容が変わります。

1部屋に対し10人の応募があった物件を2カ所
2部屋に対し20人の応募があった

この2通りの考え方がくじを「戻す」場合と「戻さない」場合という考え方になります。

お礼

ありがとうございます。「書いていない数字が当たり前のように出てくるのが【数学的】な考え方の特徴」←これ、私とっても苦手な考え方だとわかりました。感謝感謝です！！

回答No.12

shuu_01

一般的にくじの確率を考える場合、

１度 くじを引いて、そのくじを戻すのか、戻さないのか問題に記載していることがあります

今回の場合だと、くじが 10本しかなくて、1本 引いて戻さないとすると、
１本目が当たりの場合、２本目が当たりの確率は ０（ゼロ）
１本目が外れの場合、２本目が当たりの確率は 1/9 ＝ 1.11111、、、

と２本目に引く、当たりの確率が変わってしまうからです

１本 引いた後、戻すのなら、２回目の確率は変わりません

今回は、「当たる確率が1/10のくじを2回ひくのでは」 という問題で、
１回目も２回目も確率は変わらないのだと、判断し解きました

もし、くじの数が１０本しかなくて、戻すのであれば、
２回とも外れる確率は 9/10 × 8/9 ＝ 8/10 ＝ 4/5
少なくとも 1回 当たる確率は 1 － 4/5 ＝ 1/5　ですので、

当たる確率が1/5のくじを1回ひくのと同じ確率になります

お礼

何度もありがとうございます。私にはくじを戻すのか戻さないのかという分部を考えずに「両方一緒でしょ」とかんがえてしまっていました。勉強になります！

回答No.11

shuu_01

No.3 です。 お礼ありがとうございます

＞　「1 から 2回とも外れる確率を引いて
＞　1 － （9/10）^2 ＝ 19/100」を理解することが
＞　出来ませんでした。切ないです。

当たる確率が 1/10 のくじを2回引いた場合、

２回とも当たる確率は 1/10 × 1/10 ＝ 1/100

１回目が当たり、２回目が外れる確率は 1/10 × 9/10 ＝ 9/100

１回目が外れ、２回目が当たる確率は 9/10 × 1/10 ＝ 9/100

２回とも派すれる確率は 9/10 × 9/10 ＝ 81/100

となります

以上を足すと、1/100 ＋ 9/100 ＋ 9/100 ＋ 81/100 ＝ 1

となり、すべての場合を考えていることが確認されます

少なくとも １回 当たる確率は
1/100 ＋ 9/100 ＋ 9/100 ＝ 19/100

と計算しても良いですが、

1 － 81/100 ＝ 19/100 の方が、少し計算が楽ですので、
そうしました

今回はどっちでもそんなに計算 大変でないので、
どっちでも OK です

お礼

ご丁寧にありがとうございます！３の書き込みで理解できなかった内容が理解できました！！なんか頭スッキリで嬉しいです！ありがとうございます。

回答No.10

noname#195146

それだと、いろいろな場合に分かれそうですね。

　まず、一つでもくじに当たりさえすればいいと考えてみましょう。この場合、くじがちょうどの数の場合と（1/5なら5本、1/10なら10本）、事実上無数にある場合に分かれます（それぞれ6本と11本では、はたまた、と考え出すとややこしいので、そう単純化しておく）。

１．当たりさえすればいい。
１－１．ちょうどの数
　1/5のくじに当たる確率は、当然1/5。
　1/10のくじの確率はまず外れる確率を考える。くじを引くごとにくじは減るから、１回目：9/10、２回目：8/9で、(9/10)×(8/9)＝8/10＝4/5。なので、当たる確率は１－4/5＝1。→1/5＝1/5で同じ。

　答1：確率1/5のくじでも、確率1/10のくじでも同じ。

１－２．くじは無数にある。
　1/5のくじに当たる確率は、当然1/5。
　1/10のほうは、やはり外れる確率を考える。今度は引いても引いてもくじの数は減らないから、何回目でも当たる確率は1/10。外れの確率は(9/10)×(9/10)＝81/100で、当たる確率は1－81/100＝19/100＝0.95/5。1/5＞0.95/5と差が出る。

　答2：確率1/5のくじのほうが有利

　しかし、当たる毎に賞金が出て、合計でいくらもらえるかを考えると、確率1/10のくじは2回当たるチャンスがある。賞金は当たる毎に100円としてみます（宝くじみたいにいろいろだと計算が無用に複雑になる）。これは『期待値』（1回ごとに「当たる確率×賞金」で、くじを全部引いたときの総和）というもので比べる。
　これも、くじがちょうどの数と、無数にある場合に分かれる。

２．当たる毎に100円
２－１．ちょうどの数
　確率1/5のくじなら、1/5×100＝20円。
　確率1/10のくじでは、1回目：1/10×100＝10円、2回目：1/9×100＝11＋1/9、合計：21＋1/9円。こちらのほうが金額が大きい。

　答3：確率1/10のくじのほうが有利。

２－２．くじは無数にある。
　1/5のくじなら、1/5×100＝20円。
　確率1/10のくじなら、何度目でも1/10×100＝10円で、2回引けるから10×2＝20円。同じになる。

　答4：確率1/5のくじでも、確率1/10のくじでも同じ。

　以上のようになります。確率1/5のくじのほうが有利になるのは、上記で１－２（答2）のケースだけです。

　ですので、以前にご覧になった本では「くじがたくさんある場合、当たる確率1/10のくじを2回引くより、当たる確率1/5のくじを1回引くほが有利」とあったのでしょう。

P.S.

　上記でくじを無数とか、賞金を一律100円とかにしましたが、もっといろいろな条件を考えても同じだと考えてOKです。

お礼

あらゆる考え方の御解説、ありがとうございます！
あまり大して考えずに質問をかきこんだのですが、曖昧な文章からこれだけの可能性を考える術があると理解できることが出来ました！

回答No.9

noname#197274

1/10のくじ2回の場合、1回目の確率は1/10、2回目の確率は1/9です。合わせて確率、2/19です。もしくは、2/20です。1/5のくじ1回は、2/10の確率です。

お礼

ありがとうございます。
分数の足し算、「合わせて確率、2/19」という分数の足し算の考え方ができなくて悩みました(>_<)あ～私ほんとに頭悪いです。

回答No.8

masamasa74

No.5です。

回答した後で気付きました。
『数学』のカテゴリでしたね。

下の回答は『実際のくじ』としての考え方でした。

数学的な考えは他に回答が出ていますので、書き込みは避けます。
失礼しました。

お礼

５さん、ありがとうございます。

実際のくじとしての考え方と、数学的な考え方の違いが、いまの私には理解できていないので、ご回答に感謝しています。ありがとうございます。

回答No.7

etranger-t

１回ひいても２回ひいても当たる確率が変わらないのであれば、1/10のくじを２回ひいても確率は1/10に変わりがないので、1/5のくじを１回ひいた方が有利。

1/10のくじを１回ひいて、２回目の確率が1/9になったとしても、1/5には及ばないので1/5のくじを１回ひいた方が有利であることに違いはない。

お礼

>1/10のくじを１回ひいて、２回目の確率が1/9になったとしても、1/5には及ばないので1/5のくじを１回ひいた方が有利であることに違いはない

かけ算も足し算もでてこなくて、文章だけでおお！と感じることができたご回答でした。ありがとうございます！