確率： 1/5を1回と1/10を2回どちらが有利？

質問

当たる確率が1/5のくじを1回ひくのと、
当たる確率が1/10のくじを2回ひくのでは、
1/5を1回ひいたほうが有利だ。

という本を読みました。（記憶があいまいです。間違っていたらごめんなさい）

確率のこと、全くわからないのですが、素人的にはどっちも同じ確立に見えるのですが、なぜ1/5を1回のほうが当たる確率が高くなるのか、考え方を教えて頂けませんでしょうか。

（または、私の記憶が間違っている場合は、それも教えて頂けますと幸いです。）

あたまの悪い質問でごめんなさい。宜しくお願いします。

回答No.16

stomachman · ベストアンサー

「有利」と言うのは、「アタリを引くのは良いことだ」を前提とした話ですね。（アタリを引いたら地獄行き、というくじもある訳で。）

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(1) （公団住宅の抽選(って、いつの話やねん）のように）一度でもアタリをひけば成功、という話の場合。

[A] アタリの確率が1/10であるくじびきを2回できる場合。
(a) 1回目でアタリになる場合。（2回目のくじはひく必要がない。）こうなる確率は1/10。
(b)1回目でハズレ(確率は9/10)で、2回目でアタリ(確率は1/10)になる場合。こうなる確率は (9/10)×(1/10) = 9/100。
　さて、(a)と(b)が両方同時に生じるということはないので、成功する確率は(a)と(b)を足し算すれば計算できます。すなわち、
　　1/10 + 9/100 = 19/100
の確率で成功。

[B] アタリの確率が1/5であるくじびきを1回できる場合。
(a) 1回目でアタリになる場合。確率は1/5 = 20/100

だから、[B]の方が有利。
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(2) アタリ1本につき、賞金を一定額(たとえば1000円)もらえるという話の場合。

[A] アタリの確率が1/10であるくじびきを2回できる場合。
(aa) 1回目でアタリ(確率は1/10)で、2回目もアタリになる場合。こうなる確率は(1/10)×(1/10)=1/100で、2000円もらえる。
(ab) 1回目でアタリ(確率は1/10)で、2回目はハズレになる場合。こうなる確率は(1/10)×(9/10)=9/100で、1000円もらえる。
(ba)1回目でハズレ(確率は9/10)で、2回目でアタリになる場合。こうなる確率は(9/10)×(1/10)=9/100で、1000円もらえる。
　(aa)と(ab)と(ba)のうちの複数の状態が同時に生じるということはないので、もらえる金額の期待値は
　　(1/100)×2000 + (9/100)×1000 + (9/100)×1000 = 200円
と計算できます。（期待値ってのはつまり、沢山の人が[A]にチャレンジしたとき、得られた賞金額(0円の人もいます)を合計してチャレンジした全員の人数で割ると、ひとりあたり200円ゲットしたことになる、ってことです。）

[B] アタリの確率が1/5であるくじびきを1回できる場合。
(a) 1回目でアタリになる場合。確率は1/5で、1000円もらえる。
　もらえる金額の期待値は　(1/5)×1000 = 200円。

だから[A][B]どっちでも期待値は同じ。
　しかし、「いくらでもいいからもらえる確率」を考えると、これは(1)の問題と同じことになり、[B]の方が有利。

（なお、ANo.14は、くじを「箱に戻すかどうか」（箱に戻すかどうかで、当たる確率が変わる）ということを議論していらっしゃいますが、1回目も2回目も「当たる確率が1/10のくじ」である、ということが問題の前提なんですから、「箱に戻すかどうか」は考慮する必要がありませんね。）

お礼

>「有利」と言うのは、「アタリを引くのは良いことだ」を前提とした話ですね。
はい、そうです！

>（アタリを引いたら地獄行き、というくじもある訳で。）
確かに、こういう考え方があることを全く想定せず質問してしまいました。

>公団住宅の抽選(って、いつの話やねん）
1968年に書かれた本でした！笑

「期待値」という考え方を、16さんの書き込みで知ることが出来ました。私本当に頭の中が小学生どまりなのですが、まさに数学の確率的な？考え方なのだと思います。

恐らく私が読んでいた本が言いたかった確率のたとえ話では、「19/100＜20/100」だから数学を知っている人は1/5を1回のほうが有利、という表現をしていたのだと思います。

「箱に戻すかどうかで、当たる確率が変わる」「1回目も2回目も「当たる確率が1/10のくじ」である」この議論は、私の問題提起の書き方に問題があったのだと思います。そもそも、このように考え方が２つに分かれることすら想像もせずに安易に質問させていただいておりました。申し訳なく思っています。

その違いを本件で理解することができました。嬉しい限りです！！ありがとうございます！

補足

みなさまに、とってもご丁寧に解説していただいたのですが、最後の最後、本当に考え方の整理がすっきりできたNo.16さんをベストアンサーに選ばせて頂こうと思います。

でも、みなさまのどのご回答も、自分の曖昧さの発見から確率の考え方まで勉強になりました！！

ほんとうにほんとうに、ありがとうございました！みなさまのご親切に、心から感謝しています。ありがとう！

回答No.6

gomagoma427

当たる確率が５分の１というのを、便宜的に百分の２０とします。

1/5 = 20/100

ですので、数字を変えただけで同じことです。比べ安いのでこうしておきます。

次に当たる確率が１０分の１のくじを２回引く場合を考えます。当たりは複数あるという前提で考えて行きます。
起こりうる場合としては
１．２回とも当たりをひく
２．１回目は当たりだが、２回目はハズレ
３．１回目はハズレだが、１回目は当たり

１の場合、一回目の当たりの確率１/10と、２回目の当たりの確率１/10を足すのではなくかけて、
1/10 　×　1/10　＝　1/100
となります。

２の場合、１回目の当たりの確率1/10と、２回目のハズレの確率9/10をかけて、
1/10　×　9/10　＝　9/100

となります。

３の場合も同様に　9/100
となります。

３つの場合は別々に起こりますので、全てを足して　19/100　となりますが、これは
1/5 = 20/100　より若干小さいですね。

ところでこの回答は若干嘘が入っています。
確率を求めるときに、掛け算を使っていますよね？　１回目に引くクジの確率と、２回目に引くクジの確率をかけています。この掛け算は、ある行動を２回連続でするとき、１回目の行動が２回目の行動に影響しないときには、ふたつの行動の結果の確率は、１回目と２回目のそれぞれの確率の掛け算になるという考え方からきています。

おそらく質問者様が疑問に思ったのは、なぜ単純に「足し算」をすれば同じ数字になるのに、そうではないのだろうか？　ということだと思います。
その疑問の答えとして、足すのではなく「かける」のだという考え方が重要になってきます。

ですが、本来クジには本数があります。さきほど１０分の１の確率を２回というのを考えてみると、例としては１００本のクジの中に１０本の当たりがあります。

このクジを二回ひくとき、１度目に当たりを引いていたら、２度目に当たりを引く場合は、また１００分の１０を考えるわけではなく、９９本のクジから９本の当たりをひかなければなりません。
したがって、厳密には上の１の計算は

１0/100　×　9/99　= 1/110

となります。このやり方で計算すると、１００本中１０本の当たりのあるクジを２回ひいて少なくともひとつ当たりのでる確率は　21/110 となり、一方で
1/5 = 22/110

ですので、この場合もやはり５分の１の確率のクジのほうが有利になります。
１００本を１０００本、１００００本と増やしていっても、同じように５分の１の確率のクジのほうが当たりやすいです。

お礼

とても丁寧なご回答をありがとうございます。

>その疑問の答えとして、足すのではなく「かける」のだという考え方が重要になってきます。

はい、私が考えられなかった考え方は、「かける」考え方でした。

21/110 と、22/110の考え方を学ばないといけないのだとわかりました。（いまはさっぱりわかりませんが・・・）

理解したいのに、はがゆいです。

回答No.5

masamasa74

1/5だと確率は20％になります。
1/10だと確率は10％です。

ここまではわかると思います。
肝心なのは1/10の2回目の考え方です。

10個のボールの内、1個が当たりです。
1回目にボールを1個取ってハズレだったので、残りは9個残っている事になります。

9個のボールに対し、当たりは1個。
確率は1÷9で11.1111・・・％となります。

3回目1÷8で12.5％
4回目1÷7で14.285・・・％
5回目1÷6で16.666・・・％
6回目1÷5で20％

となります。

しかし、問題が「当たる確率が1/10のくじを、2個同時に引いていく」だと答えは変わってきます。

当たる確率が1/5のくじを1回につき1個ひくのと、
当たる確率が1/10のくじを1回につき2個ひくのでは

どちらも同じ確率になります。

お礼

>1/10だと確率は10％です。

はい、これで、10%を2回ひいたら合計20%になると安易に考えて、1/5と何の変わりがあるのかわかりませんでした。

でも、

>1回目にボールを1個取ってハズレだったので、残りは9個残っている事になります。

↑この考え方を理解すると、本が有利だと言っていた意味がわかるような気がしました。これからもう一度考えてみます。ありがとうございます。

回答No.4

tlover

1/10のくじを2回引く場合、一回目に当たる確率は、1/10、これはわかりますよね。

問題は、二回目に当たる確率です。
「二回目に当たる」ということは、「一回目ははずれる」ということです。
「一回目にはずれる確率」は、9/10です。
そして、二回目に当たる確率は1/10なので（引いたくじを戻す場合）、
「2回引いて二回目に当たる確率」は、
9/10 × 1/10 = 9/100
になります。
（引いたくじを戻さないなら、二回目に当たる確率は 1/9 なので、
　9/10 × 1/9 = 9/90 = 1/10）

なので、一回目か二回目かどちらかで当たる確率は、
一回目に当たる確率と二回目に当たる確率を足して、
1/10 ＋ 9/100 ＝ 19/100 < 1/5 = 20/100
ですから、1/5 を一回引く方が 1/100 だけ有利ですね。
ただし、一回目に引いたくじを戻さないなら同じですね。

また、二回とも当たると2倍の得があるなら、二回とも当たる確率、
1/10 × 1/10 = 1/100 （引いたくじを戻す場合）
も足して 20/100 = 1/5 になりますから、同じということになります。

お礼

>1/10のくじを2回引く場合、一回目に当たる確率は、1/10、これはわかりますよね。

はい、わかります！

>「二回目に当たる」ということは、「一回目ははずれる」ということです。

この1行で、？？と思いました。1回目も2回目も当ってもいいのではと思っていたからです。

それはきっと、「二回とも当たると2倍の得があるなら、二回とも当たる確率、1/10 × 1/10 = 1/100 （引いたくじを戻す場合）も足して 20/100 = 1/5 になりますから、同じということになります。」という分部でご説明いただいたところだと思います。たぶん私はこのように考えて、なぜ同じじゃないのだ？と思ったのだと思います。（頭がこんがらがってはっきりしませんが）

たぶん私は、日本語の理解を先にしたほうが良いのかもと思ってしまいました。ありがとうございます。

回答No.3

shuu_01

当たる確率が 1/10 のくじを 2回引き、少なくとも１回 当たる確率は

1 から 2回とも外れる確率を引いて

1 － （9/10）^2 ＝ 19/100

となり、1/5 より若干 低くなり、
その意味では 1/5 を 1回 引いた方が有利となります

ただ、1/10 のくじを 2回 引くと、2回とも当たることもあり、
その分、ワクワク 感が大きいですよね
だって、当たりで 1万円貰えるとすると、2万円貰った方が
倍嬉しいでしょう

2回 当たることも考えて、当たりの出る期待値を計算すると

2 ×（1/10）^2 ＋ 1×（1/10）（9/10）＋1×（9/10）（1/10）

＝ 2/100　＋ 2×9/100 ＝ 20/100 ＝ 1/5

と 1/5 を 1回　引くとの同じことになります

まぁ、そりゃそうですよね

お礼

ありがとうございます。「1 から 2回とも外れる確率を引いて1 － （9/10）^2 ＝ 19/100」を理解することが出来ませんでした。切ないです。
2万円もらったほうが倍嬉しいのは心から理解できました！！

回答No.2

Tacosan

なにをもって「有利」とする?

補足

くじが当たること＝有利として書きました。分かりづらくてすみません。

本を読み返してみました。

「例えば公営住宅の申し込みか何かで、片方は当選確率が1/5だけど1回しかチャンスがなく、他方では当選確率は1/10だけどチャンスが2回ある、ということがあったとします。どちらを選ぶかは、確率の考え方を知らない人にとっては、単に、好き嫌いの問題です。しかし、確率計算のできる人にとっては、少しの差ではあるけれども1/5のほうを選ぶほうが当選率は有利であることがわかります」という本の中の、「有利」が頭に残っていたため使いました。
大村平著　「確率のはなし」日科技連　初版1968年を改定した古い本でした。

回答No.1

久保 泰臣（@omi3_）

1/10のくじを2回 の方が有利だと思います。

1回目で当たる確率 1/10
2回目で当たる確率 1/9
どちらかでも当たる確率は、 0.211…
となり、 1/5 の 0.2 より多くなります。

お礼

ありがとうございます。う～ん、難しいです(>_<)