ｒ個のボールをｎ個の箱に

質問

異なるｒ個のボールを異なるｎ個の箱に入れる方法は次の場合何通りあるか
(a)０個の箱が出来てもいい場合
(b)０個の箱が出来てはいけない場合
という問題なんですが
コンビネーションを使って掛け合わせるといいと思うのですが良くわかりません。
お願いします

回答No.4

marutyon

下の図がおかしいので、再掲

○○○……○○
　^ ^ ^ ^　 　^ ^

回答No.3

marutyon

（ｂ）の問題は、こういう考え方もあります。
r個のボールがすべて同じものである（区別しない）場合

○○○○……○○
^ ^ ^ ^ ^ ^
^の部分でn個に区切ると考えて…

^の個数は(r-1)だから…後は分かりますよね。

回答No.2

shiga_3

(a)０個の箱が出来てもいい場合

これは２つの意味が考えられます。
1）ボールは全て箱に入れる必要があるが、ボールの数が箱より少ない
2）ボールは必ずしも全て箱に入れる必要はない

もし1）であれば、ｒ＜ｎという前提で、
ｎ個の箱からｒ個を選んで順に並べる並べ方の種類は？というのと同じですから、
nＰr＝ｎ×（ｎ－１）×（ｎ－２）×・・・×（ｎ－ｒ＋１）
　　＝ｎ！／（ｎ－ｒ）！
となります。

もし2）であれば、ｒ≦ｎの場合とｒ＞ｎの場合に分けて考えます。
2)-1　ｒ≦ｎの場合
・ｎ個の箱全てが空
・ｎ個の箱のうち１個にボールが入っている
・ｎ個の箱のうち２個にボールが入っている
・・・・・・
・ｎ個の箱のうちｒ個にボールが入っている

以上の全ての順列・組み合わせの和が求める数になります。
・まずｎ個の箱全てが空のケースは当然１種類です。
・ｎ個の箱のうち１個にボールが入っている場合、１つのボールにつきnＰ1(＝ｎ)種類の並べ方があります。そして、入れるボールの選び方はｒ個のボールの中から1個を選び出すことになるので、rＣ1(＝ｒ)種類です。したがって組み合わせの総数はnＰ1×rＣ1となります。
・ｎ個の箱のうち２個にボールが入っている場合も同様に、２つのボールでnＰ2種類の並べ方、入れるボールの選び方はrＣ2種類で、組み合わせの総数はnＰ2×rＣ2となります。
・そして、ｎ個の箱のうちｒ個にボールが入っている場合は、nＰr×rＣrとなります。

これらを全て足し合わせます。
１＋nＰ1×rＣ1＋nＰ2×rＣ2＋・・・＋nＰr×rＣr
＝Σ[i=0→r](nＰi×rＣi)
したがって、Σ[i=0→r](nＰi×rＣi)　が組み合わせの数です。

2)-2　ｒ＞ｎの場合
2)-1と基本的に同じですが、最後のケースがボールではなく箱の数によって決まりますから、nＰr×rＣr　の部分が　nＰn×rＣnとなります。
したがって組み合わせの数は、Σ[i=0→n](nＰi×rＣi)となります。

(b)０個の箱が出来てはいけない場合
これはボールの数が箱の数以上(ｒ≧ｎ)の場合に限られます。
そして、ｒ個のボールからｎ個を選んで順に並べる並べ方の種類は？というのと同じですから、
ｒＰn＝ｒ×（ｒ－１）×（ｒ－２）×・・・×（ｒ－ｎ＋１）
　　＝ｒ！／（ｒ－ｎ）！　（※０！は定義により１）
となります。

回答No.1

noname#24477

異なる、といっているからボールも箱もすべて区別せよ
ということでいいかな。

(a)　n^r　（重複順列）

(b)　まず各箱に空にならないよう１つずつ入れる。
rＰn（箱が区別されるから順列）。
その後、残り（ｒ－ｎ）個を重複順列。よって
rＰn＊n^(r-n)