電験３種

質問

申し訳ありません。電験３種の初歩の公式でつまづいてしまいました。
よろしければご指導ください。

容量性リアクタンス回路で

Xc = 　-　j / ωC　＝　1/ j ωC　

と、教科書に載っているのですが理解できません。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.5

fuefuki-douji

電験3種では、NO.3の方の説明で必要かつ十分です。
それ以上も、それ以下も不要で、最も適切です。

回答No.4

noname#190629

No.3さんの説明が不十分なので補足します。

電流でも電圧でも、時間的に変化するものは小文字でiやvで表します。
交流の実効値や直流の、時間的でないものは大文字のIやVで表します。

トランジスタの増幅率にhFEとhfeがあるように、交流と直流の区別が必要です。
たまたま、時間的に変化する電流の表記でiを使っているため、混同しないようにiに近いjを用いるということを電気回路ではしています。

回答No.3

fujiyama32

数学では複素数は[i]を使用しますが、電気では電流[i]と混同しま
すので似た文字の[j]を使用します。
数学での複素数の計算式を応用して計算できます。
計算式を添付しましたので参考にして下さい。

回答No.2

noname#191328

補足

最初の電圧に複素数を足しても、文字通り虚数という「実体のないもの」を足しているので、実際の現象に影響しない。(本当はこの虚数にも意味がある。)

必要なのは実軸の値だから、射影を取ればいいという考え方である。

ではリアクタンス成分に虚数がつくのはなぜ？という疑問が出てくる。
これは電流と電圧の位相関係を90°進めたり遅くしたりするという意味合いがある。
更には、電力計算の際に無効電力と消費電力が出てくるが、この際の熱を伴わないエネルギー授受を表すことにもなる。

回答No.1

noname#191328

jは虚数です。j=√(-1)です。j^2=-1です。
1/j=j/j^2=j/(-1)=-jです。

電力をP、エネルギーをWとするとP=dW/dtの関係があります。
容量性リアクタンスはコンデンサのリアクタンスを表します。
コンデンサはW=(1/2)CV^2のエネルギーを蓄えます。
電力換算すると、P=d((1/2)CV^2)/dt=(CdV/dt)Vとなります。
電圧をV=V0sin(ωt)のように交流で与えると、
P=(CdV/dt)V=ωCV0^2(cos(ωt)sin(ωt))=ωCV0^2(sin(ωt+90°)sin(ωt))=となります。
一方、抵抗ではV^2/R=(V0/R)sin^2(ωt)となります。

回転を表す図に単位円が用いられることがよく見受けられることは知っていますね？
(三角比など)

この図が複素平面である場合、虚数jをかけるということは、ベクトルを90°正方向に回転させることに対応します。
従って、sin(ωt+90°)=jsin(ωt)のようにできる(これは厳密ではないが、説明の簡略化のためこれを用いる)。

すると、P=(jωCV0^2)sin^2(ωt)となる。

交流での電力の式はP=V^2/Zであるから、
抵抗の時Z=Rであるため、コンデンサの時はZ=1/jωCという対応なります。

容量性リアクタンスXcというのは結局コンデンサ単体でのインピーダンスZのことを指しますので、
Xc=1/jωC=-j/ωCとなります。

電力のsin^2(ωt)は、時間的に変化する正弦波を代数処理するために虚数を取り入れたため、なくなります。
(実効値で計算できるようにする手法が交流計算に適しているため、sin(ωt)というものを式に入れると煩雑になるから。虚数が入ってきた場合、それは正弦波の位相の変化を表すことになる。)

簡単な説明にすると、コンデンサに流れる電流の式はI=CdV/dtとなります。
V=V0sin(ωt)とするとI=ωCV0cos(ωt)=ωCV0sin(ωt+90°)=jωCV0sin(ωt)
インピーダンスZ=V/I＝{V0sin(ωt)} / {jωCV0sin(ωt)}=1/jωC

もう少し厳密にやってみる。まず、
Z=V/I＝{V0sin(ωt)} / {ωCV0cos(ωt)}
=(1/ωC) tan(ωt)
これでは時々刻々と抵抗値が変化してしまうため、扱いにくい。(tan(ωt)は充放電の際の等価抵抗値となる。)
オイラーの公式e^(jωt)=cos(ωt)+jsin(ωt)・・・（1）を用いると、
je^(jωt)=jcos(ωt)-sin(ωt)・・・（2）
で複素平面上を90°回転する。(図参照)

ということで、思い切って印加電圧をV=V0 e^(jωt)に拡張する。
すると、I=jωCV0 e^(jωt)
∴Z=V/I＝1/jωCとなる。

(虚数の交流電圧をあらかじめ付け足しておく。これは一種の写像となる(時間と振幅　→　絶対値と位相角)。元の時間領域の表記に戻す際には逆の手順を踏んで戻すことになる。しかし、こうした方が代数的に実効値で計算できるため、利用しやすい。)

大抵は厳密にやる方を教科書では説明するが、そうすると無効電力の概念を正確に理解できない結果を生むので注意。