必要十分性についてなのですが…

質問

少し前置きが長くなります(^_^;)

(1)A=(1 0 / 0 2)(2×2行列、0 2は下段)と乗法について交換可能な行列、すなわちAX=XAを満たす2×2行列Xを全て求めよ。

(2)(1)の結果を利用して、どのような2×2行列とも乗法について交換可能な2×2行列を全て求めよ。

という問題で、
(1)は、X=(a b / c d)とおき、計算すると、a,dは任意の実数、b=c=0という答えが出ました。

(2)は、どのような2×2行列とも乗法について交換可能な行列Yは(1)より少なくとも(1,2)成分と(2,1)成分は0なので、Y=( x 0 / 0 y )とおける。任意の行列をB=(e f / g h)とおいてYB=BYを計算するとx=yという結果になったのですが、

ここで、必要十分性を示すために逆にYB=BY(ここでYは上で求めたもの、すなわちY=(x 0 / 0 x))を計算しなければならないとあったのですが、よく意味がわかりません。わかり易く教えて欲しいです。

また、漠然として難しい質問なのですが、どのような問題の場合、逆に～と計算しなくてはいけないのでしょうか。(これは答えていただかなくてもいいです)

よろしくお願いします。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

例えば

図形は正三角形である⇒図形は２等辺三角形である

は、逆はなりたたないですよね。
＃p⇒q に対して q⇒q を「逆」といいます。

どうように、

積で交換可能⇒ a=d, b=c=0

の逆が成り立つかはわからないのです。
積で交換可能な行列を全て求めるなら

積で交換可能⇒ a=d, b=c=0

かつ

a=d, b=c=0 ⇒ 積で交換可能

の両方が成り立つことが必要です。

お礼

回答ありがとうございます。助かりました。
tknakamuriさんの方が、私にとっては、わかりやすかったのでベストアンサーにさせてもらいます。noname2727さんもありがとうございました！

回答No.1

noname2727

x＝yという結果になったという部分が必要条件から導いた情報なのです。

だから実際元の式に代入して成り立つか（十分性）はx＝yという条件からは不明です。

そこで十分性を確認する必要があるのです。

問題集の解答ではこういった部分は省略されているものが多いですが入試で省略すると減点されてしまうのでご注意ください。

お礼

回答ありがとうございます。
アドバイスまでいただいて助かります。
気をつけます！