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円の方程式を求める数学の質問
- 平面上に二点A(4,2),B(3,-1)と直線l:x-2y+5=0がある。このとき、二点A,Bを通り直線lに接する円の方程式を求めよ。
- ABの垂直二等分線は円の中心を通るので中心を(a,-a/3 +5)とおき、ABの中点、点A,aでおいた円の中心の座標で三平方の定理を使えばaがでると思ったが何度やっても消えてしまう。
- 計算ミスではないかと思っているが、どうしたらできるのかわからない。
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円の中心Cの座標をC(x,y),半径をr,点Cから直線lに下ろした垂線の足をHとすると CA^2=CB^2=CH^2=r^2 という関係が成り立ちます。 これを式にすると (x-4)^2+(y-2)^2=(x-3)^2+(y+1)^2=(x-2y+5)^2/5=r^2 (r>0) これを解けば C:C1(x,y)=(2,1),r=√5=r1 または C:C2(x,y)=(14,-3),r=5√5=r2 と2通りの解が得られます。 円の方程式に直せば C1:(x-2)^2+(y-1)^2=5 C2:(x-14)^2+(y+3)^2=125 となります。 円C1とC2の２つの円のグラフの図（青線）を添付しますので参考にしてください。
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- warshippocho
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なんか気になってたので自分でも解いてみました！ たびたびすみません。 A,Bの座標を円の方程式に代入して整理(x-a)^2+(y-2)^2=c-^2でc^2は消えます。連立させて a+3Bb=5 円に接するl、から二つのことが言えます 円の中心(a,b)からおろした直線がlと垂直でその直線は円の中心を通る 円の半径と、垂線の足と円の中心の距離が同じ 垂線は傾き掛けて-1と円の中心通るのでy=-2x+8 さらにこの直線は円の中心をとおるのでb=-2a+8が成立 これで円の中心(a,b)がでます さらにlと垂線の式を連立させたら接点が出ます この接点と中心の距離がcに等しいとすれば出ます。 大学受験終わってかなりたつので計算結果が怪しいのでご自分でもやってみてください！
お礼
ありがとうございました！
- 178-tall
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ABの垂直二等分線 >ABの垂直二等分線は円の中心を通るので中心を(a,-a/3 +5)とおき、ABの中点、点A,aでおいた円の中心の座標で三平方の定理を使えばaがでると思ったのですが何度やってもaが消えてしえてしまいます AB の垂直二等分線の算出過程をなぞっている「だけ」たから…なのでしょう。 「aが消えてしえてしま」うのは、その勘定が合っている、というサインらしい。 AB の垂直二等分線と直線l :x-2y+5=0 との距離が、たとえば a と A(4,2) との距離に等しくなるようにするなど、直線 l のほうに目を転じないと解けなさそうです。
補足
ありがとうございました。 先程の回答者様も仰っていましたがlに着目しないとだめみたいですね 頑張ってみます
- warshippocho
- ベストアンサー率45% (19/42)
点A、Bを通るとして、円の一般式(x-a)^2+(y-b)^2=c^2を二本方程式をたてます。 円の中心からlにおろしたす直線が垂直ですから、 傾き＊傾き=-1って関係と垂線は円の中心透から 方程式３つあるので解けるはずです。 計算はめんどくさいんで割愛で。 質問の解き方じゃl使ってないじゃん 最後に連投すみません。がんばってください
補足
lについてなのですが、まずABの一方の円をだしてから、その反対側の円を出す時に使うのかなーと思い使っていませんでした…すみません… またlと中心との点と直線の距離の公式を使い、なにかしらを求めるという方法もあったのですがどうも友人から聞いたところ何回やっても上手くいかないようなので使っていませんでした 思いつく限りもう方法がないのでその方法で解いてみようと思います 長い間ご回答ありがとうございました。
- warshippocho
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すみません代入法で解いてると勘違いしてしまいました。 円の中心、点Aは円上の点ですが、ABの中点は違います 間違った回答すみません
- warshippocho
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詳しくは解いてないですけど、ぱっとみだと、垂直二等分線とABの中点使うって情報がだぶってません？ 違ったらすみません
お礼
ありがとうございました！ 以前にも図付きの丁寧な解説をしてもらった覚えがあり本当に感謝しています！ またなにかありましたら宜しくお願いします！