数学IIの問題です

質問

・cosθ+sinθ=tとおいたときの、0≦θ≦2πにおけるtの範囲を求めよ
・また、上記の範囲において、
f(t)=2t-1
g(t)=-1/2t^3+3/2t
とおいたとき、f(t)≦g(t)となる範囲のθはどこか？

すみません、何回やっても答えが出ないので、どうぞお力添えください…！

回答No.3

shuu_01

g(t)=-1/2t^3+3/2t

あ、-1/2 の － を見落としてました

f(t) － g(t) ＝ （2t － 1） － （1/2・t^3 － 3/2・t）
　　　　　　　＝ 1/2 （t3 ＋ t － 1）
　　　　　　　＝ 1/2 （t-1）（t^2 ＋ t ＋ 2）

で因数分解でき、t ≦1 の時、f(t)≦g(t)となるのですね

－ を見落とすと、全然 解けなかった

回答No.2

info22_

>何回やっても答えが出ないので
やったことを補足に書いて、どこがうまくいかないのかお書きください。

t=cosθ+sinθ=(√2)sin(θ+π/4)（0≦θ≦2π）...(◆) より
-√2≦t≦√2　...(※) ←（答え）
等号：t=√2のとき θ=π/4, t=-√2のとき　θ=5π/4

添付図参照
y=f(t)=2t-1
と
y=-(1/2)t^3+(3/2)t=-(1/2)t(t+√3)(t-√3)

のグラフで(※)のｔの範囲（図の黄色の範囲）における　f(t)≦g(t)
を満たすｔの範囲は図の赤点の範囲
　1≦t≦√2 ...(★)
となることが判る。
このtの範囲に対応するθの範囲は(◆)より
　1/√2≦sin(θ+π/4)≦1（0≦θ≦2π）
単位円を描いて考えるとよい。
　π/4≦θ+π/4≦3π/4
　∴0≦θ≦π/2 ←(答え)

回答No.1

shuu_01

誰もまだ回答ない所を見ると、難問なのですね

（１）　cosθ+sinθ=tとおいたときの、
　　　　0≦θ≦2πにおけるtの範囲を求めよ

は以下のように簡単

cosθ＋ cosθ ＝ √2 （ 1/√2・cosθ ＋ 1/√2・sinθ）
　　　　　　　　　 ＝ √2 （sin π/4・cosθ ＋cos π/4・sinθ
　　　　　　　　　 ＝ √2 sin（θ＋π/4）

ですので、－√2 ≦ t ≦ √2

なのですが、

（２） f(t)=2t-1
　　　g(t)=-1/2t^3+3/2t
　　　とおいたとき、f(t)≦g(t)となる範囲のθはどこか？

が難しいです

g(t) － f(t) ＝ 1/2 t^3　+ 3/2 t　－ 2t ＋ 1
　　　　　　　＝ （ t^3 － t ＋ 2 ） / 2

（ t^3 － t ＋ 2 ） / 2　＞ 0

t^3 － t ＋ 2

って所が簡単には因数分解できません

y ＝ t^3 － t ＋ 2

のグラフを描くと、t^3 － t ＋ 2 の実数の解は ３つでなく、
１つであることまではわかるのですが、
その解が難しい

三次方程式の解の公式 [物理のかぎしっぽ]
http://hooktail.sub.jp/algebra/CubicEquation/

に一般解があり、何も考えないで、それにつっこんじゃえば、

y ＝ t^3 － t ＋ 2

の t軸と交わる点がわかり、t の範囲がわかるので、
θ の範囲も計算できますが、

なんかスッキリしないです