数学Cの問題

質問

次の問題の解答をお願いします。
問題：座標平面において、原点Oと異なる点Pをy軸に関して対称移動し、さらに原点の周りに60度回転させた点Qは、直線OP上にあった。直線OPをすべて求めよ。

回答No.8

shuu_01 · ベストアンサー

既に回答したように、点 P の角度を θ とおくのが僕的には楽ですが、

点Ｐ を （a, b) と置いて、計算するのが普通なのかも

そうおくと、直線 OP は y ＝ (b / a) x　で表せます

a ＝ 0 となる点は、y 軸上にあるので、y軸に対称移動しても、
位置が変わらず、60度回転させると、別の位置に移動しちゃうので、
今回の条件に会わず、a で割っても大丈夫です

まず、y軸に対称移動した点は （－a, b）です

それを β 回転させるた点Ｑ を （X, Y）とすると、

X ＝ （－a）cosβ － b sin β
Y ＝ （－a）sin β ＋ b cos β

となります。それが 直線　y ＝ (b / a) x に乗ってるってことは

（－a）sin β ＋ b cos β ＝ (b / a) { （－a）cosβ － b sin β }

これを a sinβ で割ると（β は 60度 か － 60度だから割って大丈夫）

　－1 ＋ (b / a）（1 / tanθ） ＝ －（b / a）（1 / tanθ） － （ b / a）^2

　（ b / a）^2 ＋ 2 （1 / tanθ）ー 1 ＝ 0

　{（ b / a）＋ （1 / tanθ）}^2　＝ １ ＋ （1 / tanθ）^2

　（ b / a）＋ （1 / tanθ）＝ ± √ {１ ＋ （1 / tanθ）^2}

　　b / a　＝　－ 1 / tanθ± √ {１ ＋ （1 / tanθ）^2}

　θ ＝ 60度 の時 （反時計回りの時）、tanθ ＝ √3 を代入して解くと

　 b / a ＝ －√3、1 / √3

　y = －√3 x　と　y ＝ （1 / √3）x

　θ ＝ －60度の時（時計回りの時）、tanθ ＝ －√3 を代入して解くと

　 b / a ＝ － 1 / √3、 √3

　y = －（ 1 / √3） x　と　y ＝ √3 x

回答No.1

B-juggler

えっと、こういうのは逆から考えるほうが楽かな？

点Ｑを（ｘ、ｙ）　とか勝手に決めます。

原点周りを（－６０度）回転させる。
　行列で変換すればいいね？

Ｙ軸に対しての対称移動だから、ｘ　→　－ｘ　なはずだね？

それが直線ＯＰ上にあればいい。

と、同時に　点ＱもＯＰ上にあればいいんだから、

直線の方程式はわりと簡単だと思うけれど？

参考書なんかにはないかもしれないけれど、

数学は「道筋が示されれば」半分は終わってるからね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

　条件足りてるのかな？　多分ダイジョウブだと思うけれど。
　最後は　ｙ＝ａｘ＋ｂ　を使うんだけどね～。
　ａ，ｂ　を求めればいいのはいいね？
　　余計なことを考えているのかな？元代数学の非常勤講師。

お礼

解答ありがとうございます。まだ、わからない点があります。
点Ｑを（ｘ、ｙ）　とか勝手に決めます。←これは、点Pを（x、y）と決めるということではないのでしょうか？

補足

解答ありがとうございます。まだ、わからない点があります。
点Ｑを（ｘ、ｙ）　とか勝手に決めます。←これは、点Pを（x、y）と決めるということではないのでしょうか？