半円球の水槽が受ける力

質問

半径Rの半円球に水が満タンに満たされている時、水槽の受ける力の合計は水の重量分なのかどうか？　もし重量分ならW1　或いは水圧の圧力に水槽面積を掛けていくと別の答えになるのか？
　　Ｗ1＝4/6×πR^3×γ　但しγ：比重量(N/m^3)
或いは水は水槽全域に直角に作用するので、何か次の様な値になるのか？
　　Ｗ2＝πR^2×γR （球の投影面積に球底の水頭を掛ける）
もしW2の場合、それを導く計算方法はどのようにするのか？
以上御教示御願いいたします。

回答No.8

htms42 · ベストアンサー

＃６です。
あなたが書いておられる「水槽の受ける力の合計」という言葉の意味がよくわかりません。
力には向きがありますから単純に大きさだけを足すことはできません。
向きを考慮して足し算をするというのは成分に分けて考えるということと同じです。
水槽全体にかかる力の合計を向きを考慮して足すとしたら、水平方向の成分は左右で打ち消してしまいますから鉛直方向の成分だけが残ります。これを全部合わせたものが内部にある水の全重量になります。こういう考えに立って＃６の回答を書きました。ただ、途中で打ち切った形の回答になっています。正直なところあなたがどれだけのことが分かっていて質問しているのかがわからないというところがあったからです。「こういうところがわからなかったからではないですか」という回答にしました。半球のようなややこしい形ではない場合で考えてみてくださいというヒントも出しました。でもそこまでも言っていないようですね。
いただいた返事は
＞分かり易い例として結論を求めます。
半径０．５ｍ（直径１ｍ）の半円球に水が満杯に満たされている場合、
　槽の壁に加わる力は幾ら（Ｎ）になるか？答えと求める計算式を教えて下さい。
というものです。

ビール瓶のところ、直円筒を２つ重ねた形の場合がわからないのであれば水圧の考え方がわかっていないということになりそうです。半球の場合は無理でしょう。倒立した円錐形の場合はそれよりも少しむつかしいですが半球の場合に比べるとやさしいです

＞これが１ｍ×１ｍ×１ｍの正方形の場合、その槽の壁に受ける力の合計Ｆは、Ｆ＝４（面）×１０００×９．８／２（高さの真ん中の圧力）＋９８００（水の重量）＝２９４００Ｎ。

この式では底面にかかる力と４つの側壁にかかる力を向きを考えずにただ単純に大きさだけを足していますね。反対向きに大きさの等しい力が働いていると打ち消しになる（釣り合う）ということが考えられていません。容器の壁に働く力の向きを考慮した足し算の結果は底面に働く下向きの力だけになります。それは１トンの水の重さに等しいです。９８００Ｎです。
※側壁にかかる力を　１０００×９．８／２と書くのはよくありません。
きちんと単位を付けた式を書いてみてください。思い込みで書いている不完全な式である可能性があります。１ｍ×１ｍ×１ｍという特殊な形状で違いが判らなくなっているという可能性です。１ｍ×２ｍ×３ｍであればどうなるでしょうか。（１ｍ×１ｍ×１ｍは「正方形」ではなくて「立方体」ですね。）

まず「上から見たら長方形、横から見たら倒立した三角形」であるような容器について考えてみてください。斜面の部分をどう取り扱えばいいのかの練習になります。それの計算でどこまでが分かったかを捕捉に書いてください。

回答No.7

fxq11011

水圧って無重力のところでもあるのかな？。
表面張力等で球形になるので０ではないと思います。
水圧は深さによって変わる、ということは重力による水の重さによって生じます。
円筒形の容器を考えると、底に水の全重量が本当にかかっているのか？、重力による力が分散することなく鉛直方向のみに働くなら、横への水圧は生じません。
実際に巨大なタンク等の製作に当たっては、それぞれの部位にかかる力を計算する必要があるとしても、受ける力すべてと言ってしまえば、その必要がありません。
丸を三つ積み上げて、△状を考えます、丸は水の分子です、一番上に真下への力を加えます、したにある二つを斜めに押し広げます、力の平行四辺形を思い浮かべてください、斜めの力は横と真下の力に分かれます。
横の力は側壁が受け止めます、真下への力は当然底が受け止めます、でも最初に加えた力よりは小さいですね。
重力加速度による力は鉛直方向のみに働くのではなく、分散されます、結果真下の底にかかる力は水の重さすべてでは無いということになります。
底が重さすべての力を受けるとした前提が間違いです。

回答No.6

htms42

あなたが疑問を持った理由がわかります。
容器の中に水が入っているとします。
容器ごとはかりに乗せると容器の質量と中にある水の質量を合わせたものがはかりの目盛に出てきます。容器の形は関係がありません。いつでも成り立ちます。
容器の内部にある水の質量に由来する重量がどういう風にしてはかりに伝わるのでしょうか。私が小さい子供を抱いてはかりに乗れば私と子供の体重を合わせたものがはかりにかかってきます。大きな物体の上に小さな物体が乗っている時と同じです。したがって質量が足し算になることは認めてしまっていいことです。問題になるのは力の伝わり方です。質量が足し算で出て来るのはどういう力の伝わり方をしているからなのだろうかということです。水の場合でいえば容器に対して働く力は水圧しかありませんので水圧から説明する必要があります。水圧は深さだけで決まります。容器の壁に垂直に働きます。
容器が直円筒状の場合はわかりやすいです。深さがどこも同じですから容器の底面にかかる圧力は同じです。圧力×底面積は力になりますから水の重さが全部かかってくるというのが出てきます。側壁にかかる水圧は水平方向ですからはかりにはかかってきません。容器の強度を問題にするときは必要になってきます。
不思議なのはビール瓶のように首の細い容器です。口まで水が入っている場合、中の水の質量がちょうどはかりにかかってくるのはどうしてかというところです。水圧かける底面積で考えると底面にかかってくる下向きの力は中の水の重量を超えてしまいます。水圧は深さだけで決まるからです。
簡単のために底面積Ｓ１、高さｈ１の直円筒の上に底面積Ｓ２（Ｓ２＜Ｓ１）、高さｈ２の直円筒が乗っかっているとします。
底面にかかる水圧　　Ｐ＝ρｇ(ｈ１＋ｈ２)　　　（ρは密度）
底面にかかる力　　　Ｗ＝ＰＳ１＝ρｇ(ｈ１＋ｈ２)Ｓ１
水の重さ　　　　　　Ｗｏ＝ρｇＶ＝ρｇ(ｈ１Ｓ１＋ｈ２Ｓ２)　　　（Ｖは体積）

この食い違いはどのようにして解消されるのでしょうか。
下の直円筒の上面、面積Ｓ１－Ｓ２の部分にかかる上向きの水圧によって打ち消されます。
（上向きの水圧が存在するというところがポイントです。Ｓ１＜Ｓ２のような形であれば何も疑問を持たずに解いてしまいます。）

質問者様は半球上の容器を考えています。
いきなり計算のむつかしい形を考えてしまったので自分でチェックできなくなってしまっています。
上面が開いた容器で直線図形のものからスタートすればよかったと思います。
横から見て台形状のもの、または三角形状のものです。
深さで決まる圧力が面に垂直に働きます。この圧力の鉛直下向きの成分をとって足し合わせると斜面部分の水の重量が出て来ます。でも加え合わせ方に注意が必要です。
単純に「（圧力の鉛直下向き成分）×（投影面積）」で計算すると小さい値しか得られません。「（圧力）×（投影面積）」でやるとほしい値が得られます。
この辺で頭が混乱してくるのではないでしょうか。
なぜこういう食い違いが起こるのかです。
圧力の鉛直下向き成分をとるのはていねいな考え方だと思われるのになぜうまくいかないのかです。

こういうところを疑問に思っての質問ではないのでしょうか。

補足

詳しい説明有難う御座います。順に理解していきましたが、ビール瓶の所から理解が薄れていきました。
分かり易い例として結論を求めます。
半径０．５ｍ（直径１ｍ）の半円球に水が満杯に満たされている場合、槽の壁に加わる力は幾ら（Ｎ）になるか？答えと求める計算式を教えて下さい。
これが１ｍ×１ｍ×１ｍの正方形の場合、その槽の壁に受ける力の合計Ｆは、Ｆ＝４（面）×１０００×９．８／２（高さの真ん中の圧力）＋９８００（水の重量）＝２９４００Ｎ。　　　　　　　これと同じ考えで半円球はどうなるでしょうか？

回答No.5

fxq11011

半円球のカーブの真ん中あたりに接線を引くと約４５°になりますね。
そこに真上から力（重力）を加えます、力の平行四辺形を思い出してください、水平方向と、垂直（鉛直方向）に分かれます。
その二つの合力が、あなたの考える、水槽全域に直角に作用する、力です。
水圧は静圧と言って３６０°すべての方向で同じ圧力です（水中にある物体が受ける力）、もちろん横からも、下からも圧力を受けます、たかだか数メートル程度での圧力では人の体に大きな変化はないだけです、ただし風呂につかっただけでも血圧は水圧の影響で上がります。
注意が必要なのは、今回は水圧は関係ありません、水圧云々は水中にあるときの問題です。
今回の問題は、水の重量です、したがってその容器が密閉して加圧され水圧が何倍になっても、重量は変わりません。
水圧と重力による力と混同している様に感じます。
その水が重力によって生じた力（重量）はその容器が支えています、さらに同じ力で容器を置いている台（机？）が支えています、・・・同じ力で大地が支えています。

補足

御教示有難う御座います。まだ下名充分な理解が出来ません。別の例として１ｍ×１ｍ×１ｍの正方形の槽が有る場合、その槽の底は１０００Ｋｇの質量を受け、力（重力）はこれに地球の加速度ｇを掛けた９８００Ｎの力を受ける。そして周りの壁が受ける水圧による合計の力Ｆは、Ｆ＝４（面）×１０００×９．８／２（高さの真ん中の圧力）＝１９６００Ｎとなる。合計ΣＦ＝９８００＋１９６００＝２９４００Ｎ。これと同じ考えで半円球の壁の受ける力を計算するとどうなるか？この計算式と答えを教えて頂きたい。

回答No.4

Cupper-2

横方向の圧力？
そんなものない！！

海に指を突っ込んだらどうなる？
海水の横からの圧力で指がつぶれるかい？
海水浴している人たちはことごとく圧死するのか？
んなことないでしょ。

横からの圧力を考えるときは密閉状態で大気圧以上の圧力がかかっているときに考えるんです。
質問には密閉状態と無いためそれらは考える必要はない！
ちなみに密閉状態なら下からの圧力も考えなきゃならないってことね。

補足

半円球のおわん形状の水槽を考えて見ましょう。その中に水が満タンに満たされている状態です。この水による水槽の壁への水圧の合計は幾らになるのか教えて頂きたいのです。

回答No.3

fxq11011

感覚的で申し訳ないが。
＞水槽の受ける力の合計
水槽は水を支えています、水は重力の力を受けて、重量があります。
器はそれをそっくり支えています、つまり重量分。
鉛直方向のみの力に限定すれば、半分かもしれません、でも横に広がらないようにも支えていますね。

補足

鉛直方向は水の重量が受ける力となる、と判断します。しかし水は全方向に圧力を作用しますので横方向の力もプラスする必要があると判断します。この力（重量）をどう求めたらよいでしょうか？

回答No.2

NemurinekoNya

[0→π/2]∫γRsin(θ)・sin(θ)・2πRcos(θ)・Rdθ
=[0→π/2]∫γ・2π・R^3・sin^2(θ)・cos(θ)dθ
=2πγR^3/3
ですかね。

わたしの暗算が間違っていなければ、
水の重量の半分のチカラが、鉛直方向に、かかるってことになりそうですね。

回答No.1

Cupper-2

水槽が受けている圧力を数値で示したいのでしたら圧力の単位で表記する必要があります。

　　水の深さ×水の比重

これを単位「Ｐａ」で表記です。

この場合の圧力は垂直方向に掛かるので水面からの深さで決まります。
深さｒ／２なら圧力は深さｒの半分です。
器の形状なんて関係ありませんから。

補足

圧力のみでなく圧力×面積で計算される重量（力：Ｎ）を求めたいのですが。水槽の真下の圧力はγＲ、その途中はγ・kＲでkが変わっていきます。又力も面に垂直です。これらを考えると重量（圧力による作用力）の合計はどのようなものか？