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数学の問題の解法を教えてください。
分野がバラバラですが…。 1. 0≦α≦βを満たす実数α、βと二次式f(x)=(x-α)(x-β)について .......1 ∫ f(x)dx=1 .....-1 が成立しているとき定積分 .......α S=∫ f(x)dx ...... 0 をαで表しSの最大値を求めよ。 2. 五角形ABCDEは半径1の円に内接し∠EAD=30°∠ADE=∠BAD=∠CDA=60°である。 ベクトルAB=ベクトルa、ベクトルAB=ベクトルb、∠CADの二等分線とCDとの交点をP とする。 この時ベクトルAPをベクトルaとベクトルbで表しベクトルAPの大きさを求めなさい 3.aを実数とするとき次のxの四次方程式の異なる実数解の個数を求めよ x^4 + (a-3)x^3 + (9-a)x^2 + (a^2 -13)x + 6(a+1) = 0 よろしくお願いします。
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- info22_
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No.1~No.3です。 2.について ANo.3の補足の訂正 >ベクトルAE=ベクトルb AB↑=a↑, AE↑=b↑ と書き、外接円の中心をOとする。 (図を描くと添付図のようになります。 以下、図を参照しながらご覧下さい。) 三角形の角の2等分線定理より CP:PD=AC:AD(=m:nとおく) AP↑=(nAC↑+mAD↑)/(m+n) ...(1) ∠AED=90°より直角△ADEで三平方の定理を用いて 1^2+b^2=2^2 ∴b=√3 ...(2) また a=AO=1 ...(3) AC=AE=b=√3, AD=2 ∴m:n=√3:2 ...(4) (1)より AP↑=(2AC↑+√3AD↑)/(2+√3) ...(5) AC↑=AB↑+BC↑=a↑+AO↑=a↑+(1/2)AD↑ ...(6) AD↑=AE↑+ED↑=b↑+AB↑=b↑+a↑ ...(7) (6),(7)より AC↑=(3/2)a↑+(1/2)b↑ ...(8) (7),(8)を(5)に代入 AP↑=(3a↑+b↑+√3a↑+√3b↑)/(2+√3) ={(3+√3)a↑+(1+√3)b↑}/(2+√3) 分母の有理化をすると AP↑=(3+√3)(2-√3)a↑+(1+√3)(2-√3)b↑ =(3-√3)a↑+(√3-1)b↑ … 2.の答え AP^2={(3-√3)a↑+(√3-1)b↑}・{(3-√3)a↑+(√3-1)b↑} =(3-√3)^2*a^2+(√3-1)^2*b^2 +2(3-√3)(√3-1)a↑・b↑ (2),(3) および a↑⊥b↑より a↑・b↑=0から AP^2=(3-√3)^2*1+(√3-1)^2*3 =12-6√3+3(4-2√3)=24-12√3 ∴AP=2√(6-3√3) … 2.の答え
- info22_
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続いて2.ですが、 問題に重大な不備があるので回答不可能です。 訂正を補足頂けませんか? >ベクトルAB=ベクトルa、ベクトルAB=ベクトルb 同じ、ベクトルABとなってますが、ミスでしょう。 訂正を補足願えませんか?
- info22_
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続いて 3.だけ x^4+(a-3)x^3+(9-a)x^2 +(a^2 -13)x+6(a+1)=0 ...(1) aについて整理 xa^2+(x^3-x^2+6)a+(x-1)^2*(x^2-x+6)=0 ...(2) たすき掛け法により因数分解 1 (x-1)^2 = x^3-2x^2+x × x x^2-x+6 = x^2 -x+6 --------------------------- x^3 -x^2 +6 (a+(x-1)^2)(xa+x^2-x+6)=0 ...(3) (x^2-2x+1+a)(x^2+(a-1)x+6)=0 ...(4) x^2-2x+1+a=0...(5) または x^2+(a-1)x+6=0...(6) (5)の実数解の個数 判別式D/4=1-(1+a)=-a a=0の時 重解x=1(実数解1個),a>0の時 実数解0個(2虚数解) a<0の時 2実数解 (6)の実数解の個数 判別式D=(a-1)^2-24=(a-1+2√6)(a-1-2√6) a=1±2√6の時 重解x=-(±√6)(実数解1個) 1-2√6<a<1+2√6の時 実数解0個(2虚数解) a<1-2√6,a>1+2√6の時 2実数解 以上まとめると a<1-2√6の時 実数解4個 a=1-2√6の時 実数解3個 1-2√6<a<0の時 実数解2個 a=0の時 実数解1個(重解) 0<a<1+2√6の時 実数解0個 a=1+2√6の時 実数解1個(重解) a>1+2√6の時 実数解2個 となる。
- info22_
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まず 1だけ。 1. f(x)=(x-α)(x-β)...(1) (0≦α≦β...(2)) ∫[-1,1] f(x)dx=∫[-1,1] (x-α)(x-β)dx=1より 2(3αβ+1)/3=1 ∴ αβ=1/6 ...(3) (2),(3)より 0≦α≦1/√6 ...(4) S=∫[0,α] f(x)dx=∫[0,α] (x-α)(x-β)dx =α(3αβ-α^2)/6 ...(5) (1)を代入 S=α((1/2)-α^2)/6 (0≦α≦1/√6)...(6) ←1の答え dS/dα=-(1/2){α^2-(1/6)}≧0 ...(7) Sは 0≦α≦1/√6 で単調増加関数。 従って α=1/√6(=β)の時 (6)のSは最大となり、 S(max)=(1/√6)((1/2)-(1/6))/6=√6/108 ←1の答え
補足
大変申し訳ありません。 ベクトルAE=ベクトルb でした。すみません。