多項式の計算の解き方を教えて下さい！

質問

（x-b)(x-c)(b-c)＋(x-c)(x-a)(c-a)＋(x-a)(x-b)(a-b)

の解き方が解説を読んでも良く分かりません(>_<)
解き方をできるだけ詳しく説明お願いします。

回答No.3

asuncion · ベストアンサー

おっと失礼。展開の際、符号を間違えました。
まあ、最終的な結果は同じなんですけど。

= (b - c){x^2 - (b + c)x + bc} + (c - a){x^2 - (c + a)x + ca} + (a - b){x^2 - (a + b)x + ab}

普通に展開してみる。xの次数で整理する。
与式
= (b - c + c - a + a - b)x^2 + {-(b + c)(b - c) - (c + a)(c - a) - (a + b)(a - b)}x + (b - c)bc + (c - a)ca + (a - b)ab
= (c^2 - b^2 + a^2 - c^2 + b^2 - a^2)x + (b - c)bc + (c - a)ca + (a - b)ab

以下は、先ほどの回答のとおりです。

回答No.5

alice_44

真面目に展開してもいいけれど…

与式 = f(x) = Pxx+Qx+R と置いて
f(a), f(b), f(c) の値を考えれば、
P, Q, R の値が決まる。

回答No.4

masudaya

まず，a=bとすると，
(x-b)(x-c)(b-c)＋(x-b)(x-c)(c-b)=0
同様にa=cでも，b=cでも与式は0となるので，
上の多項式は因子として(a-b)(b-c)(c-a)を持っている.
次に，因子の余項を求める.
最初に余項の字数を確認すると，因子(a-b)(b-c)(c-a)はa,b,cの2次式になる,
また,与式もa,b,cの2次式になるので,余項a,b,cに対しては0次である
(kx+m)(k'x+m')という形式になる.実際に展開するとxの項はなくなるので,
最終的にはk=k'=0，m=-1,m'=1になります.

回答No.2

ikuchan250

（x-b)(x-c)(b-c)＋(x-c)(x-a)(c-a)＋(x-a)(x-b)(a-b)

=[(x-b)(x-c)]*(b-c)+[(x-c)(x-a)]*(c-a)+[(x-a)(x-b)]*(a-b)

=(x^2-bx-cx+bc)*(b-c)+(x^2-ax-cx+ac)*(c-a)+(x^2-ax-bx+ab)*(a-b)

=(bx^2-b^2x-bcx+b^2c-cx^2+bcx+c^2x-bc^2)
+(cx^2-acx-c^2x-ac^2-ax^2+a^2x+acx-a^2c)
+(ax^2-a^2x-abx+a^2b-bx^2+abx+b^2x-ab^2)

これ以上、うまくまとまるのかな．．

回答No.1

asuncion

まずは、xについての式だと思うことにする。

与式
= (b - c)(x - b)(x - c) + (c - a)(x - c)(x - a) + (a - b)(x - a)(x - b)
= (b - c){x^2 - (b + c)x + bc} + (c - a){x^2 - (c + a)x + ca} + (a - b){x^2 - (a + b)x + ab}

普通に展開してみる。xの次数で整理する。
与式
= (b - c + c - a + a - b)x^2 + {(b + c)(b - c) + (c + a)(c - a) + (a + b)(a - b)}x + (b - c)bc + (c - a)ca + (a - b)ab

x^2の項が消えている。
与式
= (b^2 - c^2 + c^2 - a^2 + a^2 - b^2)x + (b - c)bc + (c - a)ca + (a - b)ab

なんと、xの項まで消えている。
与式
= (b - c)bc + (c - a)ca + (a - b)ab
= (b - c)bc + c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2

今度は、aに関する式だと思うことにする。
与式
= (b - c)a^2 - (b^2 - c^2)a + (b - c)bc
= (b - c)a^2 - (b + c)(b - c)a + (b - c)bc

共通因数(b - c)でくくる。
与式
= (b - c){a^2 - (b + c)a + bc}

{}の中をたすきがけで因数分解する。
与式
= (b - c)(a - b)(a - c)
= (a - b)(b - c)(a - c)

a, b, cの順番で書きたいなら、
-(a - b)(b - c)(c - a)
でもいいかもしれない。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。
やっと解き方が理解できました(^-^)