ガウスの法則について

質問

知恵袋にあった質問です。
回答お願いします。

高校物理の質問です。
http://firestorage.jp/download/caaf3102820744eec47d70ae54a9ab334f64d659
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例題54(3)(4)に関して質問です。
a<r<2aの電場を求める場合に関してなのですが、ガウスの法則より+Qcの電荷から4πkQ本電気力線が出て、-Qcの電荷には4πkQ本電気力線が入るため、a<r<2aの空間には8πkq本の電気力線が存在するような気がします。…※
そうしますと中心から距離rにおける電場は8πkQ/4πr^2となり、答えの二倍になってしまいます。
資料の(2)コンデンサー内の電気力線の項目の説明で、+Qcのコンデンサーからは一方の面からは2πkQ本電気力線が出て、-Qcのコンデンサーには一方の面には2πkQ本の電気力線が入り、コンデンサーの間には合計4πkQ本の電気力線があると考える考え方から例題の※の考え方はあっているような気がするのですが、間違っている点をご指摘いただけませんか。
丁寧な解説よろしくお願いします。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

> a<r<2aの電場を求める場合に関してなのですが、ガウスの法則より
> +Qcの電荷から4πkQ本電気力線が出て、-Qcの電荷には4πkQ本電気力線が入るため、
> a<r<2aの空間には8πkq本の電気力線が存在するような気がします。

まず、先に資料の(2)について解説します。それを応用して考えると理解し易いかも知れません。

>資料の(2)コンデンサー内の電気力線
の場合は、次のように考えるのです。

まず、注意しておかなければならないことがあります。電気力線は、電場の様子を考えるために導入された概念ですから、電気力線を考えているときには、本当は電場の様子を考えているのだ、ということです。
たとえば、＋Ｑの点電荷が１つだけ空間に有るとき、電気力線はこの点電荷から伸びている、と考えますが、それは、点電荷から放射状に電場ができているということを意味しているのです。電気力線を、実在のものとして考えない方がよいでしょう。電気力線をイメージしたら、直ちにそれを電場の様子に置き換えて理解してしまうのが良いのです。

本題です。
もし、＋Ｑの電荷を持つ片方の極板しかなかったとしたら…　と、まずは考えるのです。このとき、極板の上下の２つの表面からは、総計4πｋＱ本の電気力線が出ています。しかも、どの電気力線も、他端は無限遠方まで伸びています。両表面とも同等ですから、その半分の本数の電気力線が、極板から、それぞれ上方，下方に伸びていることになります。
次に、今度は空間内に、－Ｑの電荷を持つ片方の極板しかない状態を考えてみます。今度も、上と似た状態で、極板の上下の２つの表面には、総計4πｋＱ本の電気力線が入ってきています。両表面とも同等ですから、その半分の本数の電気力線が、極板のそれぞれ上方，下方から入ってきていることになります。
さて、実際の状況は、これら２つの状態を重ね合わせた状態に等しいですね。
このとき、空間の電気力線はどうなっているかと言えば、１つ１つの極板を別々に考えたときの電気力線を、重ね合わせた状態になっていると考えるしかありません。
ここで、先に注意しておいたことを思い起こして下さい。電気力線の状態は、電場の様子を伝えているのです。それぞれの極板が作る電場は、その極板表面付近では、２πｋＱ本の電気力線群に対応する電場なのです。それぞれの極板が単独で在るとき、周囲の電場の様子をしっかりイメージしておきます。その上で、これら２つの電場を重ね合わせた状態が、実際の状況なのです。
極板はちょっとズレた位置に在りますから、極板間の空間には、＋Ｑの片面から出た　2πｋＱ本の電気力線（に対応する電場）と－Ｑの片面に入ってくる　2πｋＱ本の電気力線（に対応する電場）とを合成したもの、つまり4πｋＱ本の電気力線（に対応する電場）が観察できるはずなのです。
なお、それぞれの極板の直ぐ"外側"では、互いの電気力線（に対応する電場）の向きが逆になっているので、互いに"打ち消し合って"、電気力線（に対応する電場）は消えてしまいます。

上のことは、理解なさっていると思います。

では、２重球殻の問題を考えましょう。
今度は、平面極板とは違う特有な注意点がありますので、そこに注意を払って考えて下さい。それは、球殻の内部と外部では状況が全く異なるということです。平面極板の両面の同等性とは大違いなのです。

例によって、１つ１つの球殻が単独で在った場合を考えましょう。
まずは、半径ａの球殻だけが存在する場合です。
半径ａの球殻には＋Ｑの電荷が分布しています。ガウスの法則から、この球殻の内部には電場が有りません。もちろん電気力線も０本です。つまり、この球殻の外の空間にだけ電場が存在します。もちろん、４πｋＱ本の電気力線が球殻から出ていく向きに放射状に伸びている状態がイメージされます。
この場合、電気力線が在る空間は、球殻の中心からの距離ｒが、ａ＜ｒ の空間ですね。
では次に、半径２ａの球殻だけが存在する場合を考えましょう。この球殻についてもガウスの法則を適用することができて、球殻内部には電場は無く、電気力線も０本です。外側の空間ではどうでしょうか？　４πｋＱ本の電気力線が、球殻の外表面に入ってくる向きに伸びています。
この場合、電気力線が有る空間は、球殻の中心からの距離ｒが、２ａ＜ｒ の空間ですね。このとき、ａ<ｒ<２ａ の空間には電気力線は存在していないことに注意しておきましょう。
では、２つを重ね合わせて、実際の状況を作ります。
ａ<ｒ<２ａ の空間には、内側の球殻の電荷が作る電場しかないのでした。当然、電気力線は４πｋＱ本しかないですね。
次に　２ａ＜ｒ　の空間ではどうでしょうか？　この空間では、２つの球殻の電気力線の向きは逆向きで、本数密度は同じです。このため、互いに打ち消し合って、外球殻の外側には電場が存在せず、当然電気力線も０本です。
結局は、内球殻の外表面から出た４πｋＱ本の電気力線が、外球殻の内表面で終わっているだけ、と考えて良いことになります。ついでですが、このことから、内球殻では電荷はその外表面にしか存在せず、外球殻では、その内表面にだけ電荷が有り、外表面には電荷が現れていないこともわかるはずです。これは、２つの球殻の外側から見ると、あたかも電荷が０の球殻が見えるのと同じだということです。