sign(σ1)って何ですか？

質問

σ1=(1 2;1 2)(;は改行の意味)があるとき、sign(σ1)=1らしいのですがsign(σ1)って何なのでしょうか？教えてください

回答No.3

tsukita · ベストアンサー

>例えばσ1(1 2 3;3 1 2)だったら1→3、2→1、3→2と3個置換されてるから
>奇置換でsign(σ1)=-1ということですかね

この解釈は誤りです。
justice00さんがどんなテキストをもとに学んでいるかは
お察しできませんが、signの定義はどのようにかかれてありますか？

一般的には互換の積の個数によってsignを定めると思います。

互換とは、２つの元を入れ替える置換のことです。
例に挙げられたσ1(1 2 3 ; 3 1 2)は、３つの元 1,2,3 が
３つともすべて違う元に置換されているので互換ではありません。
あくまで互換とは２つの元を入れ替える置換です。

しかしながら、置換σ1は
まずはじめに１と３を入れ替え【互換１】
１　２　３　　…(1)
３　２　１　　…(2)
次に２と１を入れ替える【互換２】
３　２　１　　…(2)
３　１　２　　…(3)
ことに等しくなります。(1)から(2)、(2)から(3)では２つの元が変わっているでしょ？
つまり、σ1は全体として互換ではないが、
互換を２回施すことによって表現できるということになります。

signの定義は、一般に(-1)^(互換の個数)ですので、
この場合は、sign(σ1) = (-1)^2 = 1 となります。

お礼

事情によりsign()を学べなかったのですが互換もよく把握出来てなかったみたいです
わかりやすい解説で何とか理解出来ました
ありがとうございました

回答No.2

tsukita

“n次対称群”“置換”“互換”（あるいは線形代数）周辺の話かとお察しします。

σ が偶置換ならば　sign(σ)=1
σ が奇置換ならば　sign(σ)=-1
と、置換 σ に対して互換表現の個数に応じて1または-1を対応させる関数がsignです。

σ1(1 2;1 2)とは何か？
sign(σ1)とは何か？
記号の定義をっかり！

お礼

例えばσ1(1 2 3;3 1 2)だったら1→3、2→1、3→2と3個置換されてるから奇置換でsign(σ1)=-1
ということですかね
ありがとうございました

回答No.1

f272

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4
置換の符号を参照すべし。

お礼

ありがとうございます
難しいですが何とか読んでみます